【乗積級数】コーシー積とその証明~2つの無限級数の積~

微分積分学(大学)

コーシー積 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} =\left(\sum_{n=0}^\infty a_n \right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) について,その定理の主張と証明,最後に具体例を紹介しましょう。

【乗積級数】コーシー積~2つの無限級数の積~

定理(コーシー積, Mertens

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n , \sum_{n=0}^\infty b_n がともに収束し,少なくとも一方が絶対収束するとき,

\color{red} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} =\left(\sum_{n=0}^\infty a_n \right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)


が成り立つ。

2つの無限級数の積は,「係数の和が常に一定になるようなところ」に注目して,それを足し上げても同じになるということですね。図で描くと,以下のようなイメージです。

コーシー積のイメージ

「係数の和が一定になるところを足す」というのを,級数の畳み込み (convolution) ということもあります。

なお,元の級数の2つともが絶対収束する場合は, \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} も絶対収束します。実際,

\sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n| a_k||b_{n-k}| \le \left(\sum_{n=0}^N |a_n| \right) \left(\sum_{n=0}^N |b_n|\right)


となることから分かります。

コーシー積の証明

証明は少しテクニカルかもしれません。やっていきましょう。

証明

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n が絶対収束するとして証明しよう。このとき,\alpha= \displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n| とおくことにする。

\begin{gathered} A_N =\sum_{n=0}^N a_n,\, B_N = \sum_{n=0}^N b_n, \\ C_N = \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k},\\ \beta_N = B-B_N \end{gathered}


と定める。示すべきことは, C_N \xrightarrow{N\to\infty} AB である。

\begin{aligned}C_N ={}& a_0b_0 \\ &+ (a_0b_1+a_1b_0) \\ &+\cdots+(a_0b_N+\dots + a_Nb_0) \\ ={}& a_0B_N+a_1B_{N-1}+\dots + a_NB_0 \\ ={}& a_0(B-\beta_N)\\ &+a_1(B-\beta_{N-1})\\ &+\dots+a_N(B-\beta_0) \\ ={}&A_NB-(a_0\beta_N+\dots +a_N\beta_0) \end{aligned}


であり,A_NB\xrightarrow{N\to\infty} AB であるから, a_0\beta_N+\dots +a_N\beta_0 \xrightarrow{N\to\infty} 0 を示せばよい。

\varepsilon > 0 とする。 \beta_N=B-B_N\xrightarrow{N\to\infty} 0 であるから,ある N_0 \ge 0 が存在して,

N \ge N_0 \implies |\beta_n|\le \varepsilon


とできる。このような N \ge N_0 に対し,

\begin{aligned} &|a_0\beta_N+\dots +a_N\beta_0| \\ \le{}& |a_0 \beta_N + \dots + a_{N-N_0}\beta_{N_0}|\\ & + |a_{N-N_0+1}\beta_{N_0-1}+\dots+a_N\beta_0| \\ \le{}& \alpha \varepsilon + |a_{N-N_0+1}\beta_{N_0-1}+\dots+a_N\beta_0| \end{aligned}


であり,最終辺第2項は a_N\xrightarrow{N\to\infty} 0 より, 0 に収束するため,

\limsup_{N\to\infty} |a_0\beta_N+\dots +a_N\beta_0| \le \alpha\varepsilon


となる。結局, a_0\beta_N+\dots +a_N\beta_0 \xrightarrow{N\to\infty} 0 が示せたので,証明が終わる。

証明終

コーシー積の具体例

ひとつだけ具体例を挙げましょう。

\displaystyle \color{red} \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} である。

これは, e^xマクローリン展開の話ですから,結局 \color{red} e^xe^y = e^{x+y} と言っているに過ぎないのですが,これを確認してみましょう。

\sum_{n=0}^\infty x^n/n! は任意の実数 x で絶対収束することに注意すると,

\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right)= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{x^kx^{n-k}}{k!(n-k)!} \tag{1}


が成り立ちます。二項定理より, (x+y)^n x^k y^{n-k} 項の係数は \frac{n!}{k!(n-k)!} であることに注意すると,結局,

\sum_{k=0}^n \frac{x^kx^{n-k}}{k!(n-k)!} = \frac{(x+y)^n}{n!}


であることから, (1) 式は

\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!}


となって,例の式が示せましたね。

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