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広義一様収束の定義と具体例

微分積分学(大学)
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関数列において広義一様収束(コンパクト一様収束)は,一様収束より広い概念です。これの定義と具体例を確認しましょう。

広義一様収束の定義

定義(広義一様収束)

I \in \mathbb{R} を区間とする(有界でなくてもよい)。

関数列 \{f_n \colon I \to \mathbb{R} \} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} 広義一様収束する (converge uniformly on compacts) とは,任意の有界閉区間上で一様収束することである。
すなわち,任意の有界閉区間 [a, b ] \in I に対し, [a, b ] f_n \xrightarrow{n\to\infty} f が一様収束となることである。

定義域全体ではなく,有界閉区間に制限したときに,一様収束が成立するとき,広義一様収束というんですね。「有界」であることと「閉区間」であることの両方が大切です。

なお,一様収束の定義自体は以下で解説しているので,参照してください。

定義から明らかに以下が成り立ちます。

定理(一様収束 \implies 広義一様収束)

f_n \xrightarrow{n\to\infty} f が一様収束であれば,これは広義一様収束である。

広義一様収束の方が一様収束より広い概念ということですね。

また,一様収束のときと同様に,以下も成立します。

定理(連続関数の広義一様収束先は連続関数)

\{f_n\} を連続な関数列とし,広義一様収束の意味で f_n \to f \,\,(n\to\infty) が成立するとする。
このとき,f は連続である。

関数の「連続」という性質は局所的なものであるため,定義域全てを考えなくても,見たい点の近くだけ考えればよいです。近くだけ考えれば,そこでは一様収束であるため,「連続関数の一様収束先は連続関数」であることから従います。

広義一様収束の具体例

「広義一様収束するが一様収束しない例」と「一様収束する(従って広義一様収束もする)例」それぞれを挙げましょう。

広義一様収束するが一様収束しない例

例1.

\color{red} f_n(x) = x^n, \, f(x) = 0 とすると, \{f_n\} \color{red} (-1, 1) 上広義一様収束するが,一様収束はしない。

実際, 0 < a < 1, 0 < b < 1 とすると, [-a, b] \subset (-1, 1) 上では,

\begin{aligned} \sup_{-a\le x \le b} |x^n| &= \max\{a, b\}^n \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{aligned}


であるから,この上で一様収束しますが,

\begin{aligned} \sup_{-1< x < 1} |x^n| = 1 \end{aligned}


なので, (-1, 1) 上では一様収束しません。
よって, (-1, 1) 上で広義一様収束しますが,一様収束しません。

例2.

\color{red} f_n(x) = 1_{(n, n+1)}(x), \, f(x) = 0 とする(ただし, 1_{\cdot} 定義関数)。 \{f_n\} \color{red} [0, \infty) 上広義一様収束するが,一様収束はしない。

実際, [a, b] \subset [0, \infty) とすると,この上では,

\begin{aligned} \sup_{a\le x \le b} |1_{(n, n+1)}(x)| \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{aligned}


なので, [a, b 上一様収束しますが,

\begin{aligned} \sup_{x \ge 0} |1_{(n, n+1)}(x)| =1 \end{aligned}


であるため, [0, \infty) 上では一様収束しません。
よって, [0, \infty) 上で広義一様収束しますが,一様収束しません。

一様収束する(従って広義一様収束もする)例

例3.

\color{red}{ f_n(x) = \frac{1}{n+x}, \, f(x) = 0}
とおくと, \{f_n\} \color{red} [0, \infty) f に一様収束する。

これは

\sup_{x \in [0, \infty)} \left|\frac{1}{x+n}\right| = \frac{1}{n} \xrightarrow{n\to\infty} 0


のため,一様収束します。よって当然,広義一様収束もします。

より一般の場合の広義一様収束の定義

最後に位相空間論の言葉を用いて,より一般的な広義一様収束の定義を述べましょう。

定義(広義一様収束)

X 位相空間 Y 距離空間とする。
f_n,f\colon X \to Y としたとき, f_n \xrightarrow{n\to\infty} f 広義一様収束する (converge uniformly on compacts) とは,任意のコンパクト部分集合 K \subset X 上で f_n \xrightarrow{n\to\infty} f が一様収束であることをいう。

定義域の制限が「有界閉区間」ではなく,「コンパクト」になりました。

日本語ではよく「広義一様収束」と言われますが,英語では「converge uniformly on compacts」と言ったりします。これは,直訳すると「任意のコンパクト集合上一様収束する」という意味です。

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