一様連続と連続の違いをわかりやすく図解する

一様連続性とは，集合の上における，各点での連続性より強い概念です。

連続性と一様連続性の違いを，図や具体例を交えて詳しく確認していきましょう。

一様連続と連続の定義

まずは今回の主役である「一様連続」を定義し，そのあとに単なる「連続」の定義も復習しましょう。

以下， $f\colon A \to \mathbb{R}$ とします。

定義（一様連続）

$f$ が $A$ 上一様連続 (uniformly continuous) であるとは，

\textcolor{red}{\lim_{\delta\to 0+}\sup_{|x-y|<\delta} |f(x) - f(y)| = 0}

が成立すること，すなわち，任意の $\varepsilon > 0$ に対して，ある（ $\varepsilon$ にしか依存しない） $\delta > 0$ が存在して，

|x-y|<\delta, \,x,y\in A \Longrightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon

が成立することである。

定義（連続）

$f$ が $A$ 上連続 (continuous) であるとは，

\textcolor{red}{\lim_{x\to a} f(x) = f(a), \quad a \in A }

が成立すること，すなわち，任意の $\varepsilon > 0, a \in A$ に対して，ある ( $\varepsilon$ と $a$ に依存する） $\delta > 0$ が存在して，

|x-a|<\delta, \, x \in A \Longrightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon

が成立することである。

定義から，「一様連続 $\Longrightarrow$ 連続」が従います。

「一様連続」とは，各点 $a \in A$ によらず「一様に」，すなわち「全体的に均一に」連続であると言っています。

ここでいう，「全体的に均一」とは，「変化による差が」全体的に均一であることを意味します。

以下に，図を交えてまとめておきましょう。

Check～一様連続と連続の違い～

さて，具体例を確認することで，イメージを膨らませていきましょう。

例1.

$\textcolor{red}{f(x) = x^2}$ は， $[0,1]$ 上一様連続である。
一方， $[0, \infty)$ 上連続だが，一様連続ではない。

図を見ると， $\infty$ にいくほど，「変化差」が大きくなっていくのがわかるでしょう。 $[0,1]$ 区間に区切って，無限遠を考えないことにすれば，「変化差」が大きくなりすぎないため，一様連続になります。

一方， $[0, \infty)$ まで拡張すると，無限遠の方で「変化差」が大きくなりすぎるため，均一には抑えられず，一様連続にはなりません。

例2.

$\textcolor{red}{f(x) = \sqrt{x}}$ は， $[0, \infty)$ 上一様連続である。

図を見ると，「変化差」は原点付近で一番大きく，遠くに行っても大きくならないことが分かります。よってこれは $[0, \infty)$ 上一様連続になります。

実際， $\sup_{|x-y|<\delta} |\sqrt{x} - \sqrt{y}|= \sqrt{\delta} \xrightarrow{\delta \to 0+} 0$ なので，一様連続であることが分かります。

例3.

$\textcolor{red}{f(x) = \tan x}$ は， $(-\pi/2, \pi/2)$ 上連続だが，一様連続ではない。

図を見ると，「変化差」は $\pm \pi / 2$ 付近でどんどん大きくなっていくことが分かります。よって，これは $(-\pi/2, \pi/2)$ 上一様連続ではありません。

例4.

$\textcolor{red}{f(x) = \sin (1/x) }$ は， $(0, 1)$ 上連続だが，一様連続ではない。

図を見ると，「変化差」は原点付近でどんどん大きくなっていくことが分かります。よって，これは $(0, 1)$ 上一様連続ではありません。

最後に，一様連続に関する有名な定理を一つ紹介しましょう。

定理

有界閉区間上の連続関数は一様連続である。

有界閉区間上であれば，「連続」ならばより強い「一様連続」が従うという定理です。「有界」であることと，「閉」であることが大切です。

これの証明については，下の記事を見てください。