有界閉区間上の連続関数は一様連続になることの証明

微分積分学(大学)

一様連続性は連続性より強い概念ですが,有界閉区間上であれば,連続性だけで一様連続が従います。この定理を証明していきましょう。

有界閉区間上連続 ⇒ 一様連続

まずは今回証明する定理の主張を述べましょう。

定理(有界閉区間上連続ならば一様連続)

I有界閉区間, f\colon I \to \mathbb{R} を連続関数とする。このとき, f は一様連続である。

すなわち,任意の \varepsilon > 0 に対して,ある \delta > 0 が存在して,

|x-y|<\varepsilon \Longrightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon


が成立する。

一様連続性は数学において,便利な性質の一つです。そのため,連続から一様連続が従うのはとても嬉しいことです。

早速証明に移りましょう。

証明

証明

背理法で示そう。もし一様連続でないと仮定すると,

ある \varepsilon > 0 が存在して, 各 n \ge 1 に対し,ある x_n, y_n \in I が存在して, |x_n - y_n| < 1/n かつ |f(x_n) - f(y_n) | \ge \varepsilon とできる。

\{x_n\} \in I有界列であるから,ボルツァノ-ワイエルシュトラス (Bolzano–Weierstrass) の定理より, 収束部分列 \{ x_{n_k}\} が存在する。 I は閉であるから, x_{n_k} \to x \in I となる。またこのとき,

\begin{aligned} |y_{n_k} - x | &\le |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x| \\ &\le \frac{1}{n_k} + |x_{n_k} - x| \\ &\to 0 \quad (k \to \infty) \end{aligned}


であるから, y_{n_k} \to x でもある。

f の連続性より,

\begin{aligned} \varepsilon &\le |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \\ &\to |f(x) - f(x) | \quad (k\to\infty) \\ &=0 \end{aligned}


となるが,両辺を確認すると,これは矛盾している。
よって結論が示せた。

証明終

証明の最初,「~とできる」のところを理解するのが最も難しいのではないかと思います。
主張の否定の取り方は,「任意の」と「ある,存在する」を入れ替えて,「AならばB」を「AであってBでない」にすればよいです。

本定理は専門数学をやる上で重要ですから,しっかり覚えておくようにしましょう。

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