重積分の変数変換の方法と，その例題を2つ紹介します。まずは2重積分の場合を考え，それから一般の多重積分の場合について述べます。
2重積分の変数変換
まずは，2重積分を考えることにしましょう。
定理（2重積分の変数変換）
D\subset \mathbb{R}^2 を2次元領域とし， \phi, \psi \colon D\to \mathbb{R} は C^1 級とする。
変数変換 x=\phi(u,v),\, y=\psi(u,v) により， xy 平面上の領域 D と uv 平面上の領域 E が1対1にうつり合っているとする。 このとき， D 上広義可積分な連続関数 f(x,y) に対して，
\color{red} \begin{aligned}&\int_D f(x,y)\, dxdy \\ &= \int_E f(\phi(u,v),\psi(u,v))\,\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv. \end{aligned}
ただし，
はヤコビアン（ヤコビ行列の行列式）を指す。
ですね。ヤコビアンに絶対値がついていますから，行列式そのものではなく，行列式の絶対値をかけていることに注意してください。
変数変換のための条件がいろいろ付いていますが，学部生がテストで出るような積分に関しては，特に気にしなくても，すべての条件を満たしているでしょう。
1変数の積分の変数変換と比較してみましょう。
| 1変数 | 2変数 |
|---|---|
| x=\varphi(t) | x=\phi(u,v),\; y=\psi(u,v) |
| \begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,dx\\ &= \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(t))\frac{dx}{dt}dt\end{aligned} | \begin{aligned}&\int_D f(x,y)\, dxdy \\ &= \int_E f(\phi(u,v),\psi(u,v))\,\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv. \end{aligned} |
| dx=\frac{dx}{dt}dt | dxdy= \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv |
形を見ると，ほぼ同じだということが分かるでしょう。ヤコビ行列は，普通の関数 \mathbb{R}\to \mathbb{R} の微分を \mathbb{R}^m \to\mathbb{R}^n に拡張したものですから，やっていることはほぼ同じなのです。
唯一，絶対値の有無に違いがありますが，それは，積分に向きがあるかの違いです。1変数の積分は， \int_a^b = -\int_b^a のように向きを考えますが，多変数の積分では，そういったことは普通しないため，絶対値がついています。
そもそも，1変数の場合の置換積分において， dx=\frac{dx}{dt}dt の dx/dt の部分は，変数変換によって生じるスケール変換を調整するためのものでした。これは，多変数のときも同様です。以下の図を見てください。
厳密な議論ではありませんが，スケール変換のイメージがつくのではないでしょうか。
2重積分の変数変換の例題
ここからは，例題を考えましょう。
例題1.
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x+y \le 1,\, 0\le x-y\le 1\} とする。 \displaystyle \iint_D (x^2-y^2)\,dxdy を求めよ。
積分領域 D を図示すると，以下のようになります。
置換積分を用いて解きましょう。
解答
u=x+y,\, v=x-y とする。すなわち， x=(u+v)/2,\, y=(u-v)/2 である。これにより，ヤコビアンについて
\begin{aligned} \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} =-1/2\end{aligned}
であるから，
例題2.
B=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\} とする。\displaystyle \iint_C \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy を求めよ。
広義重積分です。これは，極座標変換することで計算できる典型的な問題です。やってみましょう。
解答
x=r\cos\theta, \, y=r\sin\theta \; (r>0) のように極座標変換すると，ヤコビアンについて，
\begin{aligned} \frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)} &=\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta& r\cos\theta \end{pmatrix}\\ &= r \cos^2\theta +r\sin^2\theta = r\end{aligned}
であるから，
個人的には， \color{red} \boldsymbol{dxdy=r\,drd\theta} は覚えておくとよいと思います。極座標変換で解く場面は，テストではよくあります。
多重積分の変数変換
変数の数が増えても同様です。多重積分の変数変換を紹介しておきましょう。
定理（多重積分の変数変換）
D\subset \mathbb{R}^n を n 次元領域とし， \phi_1,\dots,\phi_n \colon D\to \mathbb{R} は C^1 級とする。
変数変換 x_1=\phi_1(u_1,\dots,u_n),\, x_n=\phi_n(u_1,\dots, u_n) により，x_1,\dots,x_n に関する領域 D と u_1,\dots, u_n に関する領域 E が1対1にうつり合っているとする。 このとき， D 上広義可積分な連続関数 f(x_1,\dots, x_n) に対して，
\color{red} \begin{aligned}&\!\!\!\!\!\int_D f(x_1,\dots, x_n)\, dx_1\dots dx_n \\ &\!\!\!\!\!= \!\!\int_E f(\phi_1,\dots,\phi_n)\,\left| \frac{\partial (x_1,\dots, x_n)}{\partial(u_1,\dots, u_n)}\right|\, du_1\dots du_n. \end{aligned}
ただし，
はヤコビアン（ヤコビ行列の行列式）を指す。
ですね。
