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重積分の変数変換の方法とその例題~極座標変換の解説付き~

微分積分学(大学)

重積分の変数変換の方法と,その例題を2つ紹介します。まずは2重積分の場合を考え,それから一般の多重積分の場合について述べます。

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2重積分の変数変換

まずは,2重積分を考えることにしましょう。

定理(2重積分の変数変換)

D\subset \mathbb{R}^2 を2次元領域とし, \phi, \psi \colon D\to \mathbb{R} C^1とする。

変数変換 x=\phi(u,v),\, y=\psi(u,v) により, xy 平面上の領域 D uv 平面上の領域 E が1対1にうつり合っているとする。 このとき, D 上広義可積分な連続関数 f(x,y) に対して,

\color{red} \begin{aligned}&\int_D f(x,y)\, dxdy \\ &= \int_E f(\phi(u,v),\psi(u,v))\,\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv. \end{aligned}


ただし,

\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} =\det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}


はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式)を指す。

dxdy= \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv


ですね。ヤコビアンに絶対値がついていますから,行列式そのものではなく,行列式の絶対値をかけていることに注意してください。

変数変換のための条件がいろいろ付いていますが,学部生がテストで出るような積分に関しては,特に気にしなくても,すべての条件を満たしているでしょう。

1変数の積分の変数変換と比較してみましょう。

1変数2変数
x=\varphi(t)x=\phi(u,v),\; y=\psi(u,v)
\begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,dx\\ &= \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(t))\frac{dx}{dt}dt\end{aligned} \begin{aligned}&\int_D f(x,y)\, dxdy \\ &= \int_E f(\phi(u,v),\psi(u,v))\,\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv. \end{aligned}
dx=\frac{dx}{dt}dt dxdy= \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv

形を見ると,ほぼ同じだということが分かるでしょう。ヤコビ行列は,普通の関数 \mathbb{R}\to \mathbb{R} の微分を \mathbb{R}^m \to\mathbb{R}^n に拡張したものですから,やっていることはほぼ同じなのです。

唯一,絶対値の有無に違いがありますが,それは,積分に向きがあるかの違いです。1変数の積分は, \int_a^b = -\int_b^a のように向きを考えますが,多変数の積分では,そういったことは普通しないため,絶対値がついています。

そもそも,1変数の場合の置換積分において, dx=\frac{dx}{dt}dt dx/dt の部分は,変数変換によって生じるスケール変換を調整するためのものでした。これは,多変数のときも同様です。以下の図を見てください。

2重積分の変数変換によるスケール変換のイメージ図

厳密な議論ではありませんが,スケール変換のイメージがつくのではないでしょうか。

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2重積分の変数変換の例題

ここからは,例題を考えましょう。

例題1.

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x+y \le 1,\, 0\le x-y\le 1\} とする。 \displaystyle \iint_D (x^2-y^2)\,dxdy を求めよ。

積分領域 D を図示すると,以下のようになります。

領域Dの図示

置換積分を用いて解きましょう。

解答

u=x+y,\, v=x-y とする。すなわち, x=(u+v)/2,\, y=(u-v)/2 である。これにより,ヤコビアンについて

\begin{aligned} \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} =-1/2\end{aligned}


であるから,

\begin{aligned}\!\! \iint_D (x^2-y^2)\,dxdy&= \iint_D (x+y)(x-y)\, dxdy \\ &=\int_0^1\int_0^1 uv\,|-{1/2}| dudv \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 \left[\frac{1}{2}u^2v\right]_{u=0}^1 \,dv \\ &= \frac{1}{4} \int_0^1 v\,dv \\&= \frac{1}{8}.\end{aligned}

例題2.

B=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\} とする。\displaystyle \iint_C \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy を求めよ。

広義重積分です。これは,極座標変換することで計算できる典型的な問題です。やってみましょう。

解答

x=r\cos\theta, \, y=r\sin\theta \; (r>0) のように極座標変換すると,ヤコビアンについて,

\begin{aligned} \frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)} &=\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta& r\cos\theta \end{pmatrix}\\ &= r \cos^2\theta +r\sin^2\theta = r\end{aligned}


であるから,

\begin{aligned} &\iint_C \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^{1} \frac{1}{r}|r|\,drd\theta\\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{1} drd\theta\\ &= 2\pi. \end{aligned}

個人的には, \color{red} \boldsymbol{dxdy=r\,drd\theta} は覚えておくとよいと思います。極座標変換で解く場面は,テストではよくあります。

多重積分の変数変換

変数の数が増えても同様です。多重積分の変数変換を紹介しておきましょう。

定理(多重積分の変数変換)

D\subset \mathbb{R}^n n 次元領域とし, \phi_1,\dots,\phi_n \colon D\to \mathbb{R} C^1とする。

変数変換 x_1=\phi_1(u_1,\dots,u_n),\, x_n=\phi_n(u_1,\dots, u_n) により,x_1,\dots,x_n に関する領域 D u_1,\dots, u_n に関する領域 E が1対1にうつり合っているとする。 このとき, D 上広義可積分な連続関数 f(x_1,\dots, x_n) に対して,

\color{red} \begin{aligned}&\!\!\!\!\!\int_D f(x_1,\dots, x_n)\, dx_1\dots dx_n \\ &\!\!\!\!\!= \!\!\int_E f(\phi_1,\dots,\phi_n)\,\left| \frac{\partial (x_1,\dots, x_n)}{\partial(u_1,\dots, u_n)}\right|\, du_1\dots du_n. \end{aligned}


ただし,

\frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial(u_1,\dots,u_n)} =\det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial u_1}&\dots & \dfrac{\partial x_1}{\partial u_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_n}{\partial u_1} &\dots & \dfrac{\partial x_n}{\partial u_n} \end{pmatrix}


はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式)を指す。

dx_1\dots dx_n = \left| \frac{\partial (x_1,\dots, x_n)}{\partial(u_1,\dots, u_n)}\right|du_1\dots du_n


ですね。

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