線形写像の次元等式dim V = rank f + dim ker fの証明

線形代数学

線形写像における次元の等式 \dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f を証明し,そのことから従う定理として,線形写像の全射・単射性 \operatorname{rank} との関係を述べましょう。

線形写像の次元等式 dim V = rank f + dim ker f

定理(線形写像の次元等式)

V, Wベクトル空間 f\colon V\to W線形写像とする。このとき,

\color{red} \dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f


となる。

ここで \operatorname{rank} とは,日本語では階数と呼ばれ, \color{red} \operatorname{rank} f = \dim \operatorname{Im} f と定義されます。

図で描くと,以下のようなイメージです。

dim V = rank f + dim Ker f のイメージ

早速証明しましょう。

証明

証明の概略は図のような感じです。カッコ内は基底を表します。

dim V = rank f + dim Ker f の証明のイメージ

証明

\operatorname{Im} f, \operatorname{Ker}f はベクトル空間であったことに注意(→ 線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明)。

r = \dim \operatorname{Im} f, \, s = \dim \operatorname{Ker} f とし, \operatorname{Im} f, \, \operatorname{Ker} f の基底をそれぞれ \{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_r} \} ,\, \{ \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots , \boldsymbol{v_s} \}とする。

1 \le i \le r に対し, \boldsymbol{w_i} \in \operatorname{Im} f より,ある \boldsymbol{v^\prime_i} \in V が存在して, f(\boldsymbol{v^\prime_i}) = \boldsymbol{w_i} とできる。

\{ \boldsymbol{v^\prime_1}, \boldsymbol{v^\prime_2}, \dots , \boldsymbol{v^\prime_r} , \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots , \boldsymbol{v_s} \} V基底になっていることを示せば, \dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f は, r+s = r + s となって証明が終わる。よってこれを示そう。

V の基底になっていることを示すには,

  • それらが一次独立であること
  • 任意の \boldsymbol{v} \in V がそれらの一次結合でかけること

を示せばよい。順番に示していこう。

一次独立であること

k^\prime_1 \boldsymbol{v^\prime_1} + \cdots + k^\prime_r \boldsymbol{v^\prime_r} + k_1 \boldsymbol{v_1} + \cdots + k_s \boldsymbol{v_s} = \boldsymbol{0}


とおく。両辺を f でうつすと,

k^\prime_1 \boldsymbol{w_1} + \cdots + k^\prime_r \boldsymbol{w_r} = \boldsymbol{0}


となり, \{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_r} \} \operatorname{Im} f の基底なので, k^\prime_1 = \cdots = k^\prime_r = 0 となる。このとき,元の式は

k_1 \boldsymbol{v_1} + \cdots + k_s \boldsymbol{v_s} = \boldsymbol{0}


となるが,これは \operatorname{Ker} f の基底の一次結合なので, k_1 = \cdots = k_s = 0 もわかる。

よって k^\prime_1 = \cdots = k^\prime_r = k_1 = \cdots = k_s = 0 なので,一次独立である。

任意の \boldsymbol{v} \in V がそれらの一次結合でかけること

f(\boldsymbol{v}) \in \operatorname{Im} f より,

f(\boldsymbol{v}) = l_1 \boldsymbol{w_1} + \cdots l_r \boldsymbol{w_r}


と書ける。 f(\boldsymbol{v^\prime_i}) = \boldsymbol{w_i} なので,

f(\boldsymbol{v} - l^\prime_1\boldsymbol{v^\prime_1} - \cdots l^\prime_r \boldsymbol{v^\prime_r}) = \boldsymbol{0}


となり,特に \boldsymbol{v} - l^\prime_1\boldsymbol{v^\prime_1} - \cdots l^\prime_r\boldsymbol{v^\prime_r} \in \operatorname{Ker} f なので,これは \operatorname{Ker} f の基底の一次結合で書けて,

\boldsymbol{v} - l^\prime_1\boldsymbol{v^\prime_1} - \cdots l^\prime_r\boldsymbol{v^\prime_r} = l_1\boldsymbol{v_1} - \cdots l_s\boldsymbol{v_s}.


よって, \boldsymbol{v} \{ \boldsymbol{v^\prime_1}, \boldsymbol{v^\prime_2}, \dots , \boldsymbol{v^\prime_r}, \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots , \boldsymbol{v_s} \} の一次結合で書けている。

証明終

関連する話題

等式 \dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f であることと,以下の記事を用いれば,直ちに次の定理が従います。

定理(線形写像の全射・単射性とランク

V, Wベクトル空間 f\colon V\to W線形写像とする。このとき,

  1. f全射となるための必要十分条件は \operatorname{rank}{f} = \dim W となることで,
  2. f単射となるための必要十分条件は \operatorname{rank} f = \dim V となることである。

\dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f は 2.の証明に用います。

他に,関連する話題として,以下の記事を添付しておきましょう。

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