行列のトレース(tr)とは~定義と性質とその証明~

線形代数学

正方行列に対して定義されるトレース(跡)とは,対角成分の和を指します。これについて,定義を整理し,その性質をいくつか証明しましょう。

行列のトレース(tr)の定義

定義(行列のトレース)

A = (a_{ij}) n正方行列とする。このとき,対角成分の和

\color{red} \operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^n a_{kk}


を行列のトレース (trace, 跡) という。

行列のトレースの図解

行列のトレース(tr)の性質

行列のトレースの性質について

  • 基本的な性質
  • 可換不変性と相似不変性
  • 固有値との関係
  • 可換性をみたす線形汎関数はトレースに限る

の順に紹介しましょう。

トレースの基本的な性質

定理(トレースの基本的な性質)

A,B n 次正方行列とする。このとき,

  1. \operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B (行列の和)
  2. \operatorname{tr} (kA) = k (\operatorname{tr} A) (行列の定数倍)
  3. \operatorname{tr} A^\top = \operatorname{tr} A (転置行列)

これは,どれもトレースの定義から明らかなので省略します。

トレースの可換不変性と相似不変性

定理(トレースの可換・相似不変性)

  1. A,B をそれぞれ n\times m, m\times n 行列とする。このとき, \operatorname{tr} (AB) = \operatorname{tr} (BA) (行列の積)
  2. A n 次正方行列, P n 次正則行列とすると, \operatorname{tr} (P^{-1}AP) = \operatorname{tr} A (行列の相似)

証明してみましょう。

証明

\operatorname{tr} (AB) = \operatorname{tr} (BA) について

A=(a_{ij}), B=(b_{ij}) とすると,

\begin{aligned} \operatorname{tr} (AB) &= \sum_{k=1}^n (AB)_{kk} \\ &= \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m a_{kl} b_{lk} \\ &= \sum_{l=1}^m \sum_{k=1}^n b_{lk} a_{kl} \\ &= \sum_{l=1}^m (BA)_{ll} \\ &= \operatorname{tr} (BA) \end{aligned}


より従う。

\operatorname{tr} (P^{-1}AP) = \operatorname{tr} Aについて

上より, \operatorname{tr} ((P^{-1}A)P) = \operatorname{tr} (P(P^{-1}A)) = \operatorname{tr} A となって従う。

証明終

トレースは固有値の和に一致

定理(トレースと固有値の和)

A n 次正方行列, \lambda_1,\lambda_2,\dots , \lambda_n をその固有値とすると,

\operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^n \lambda_k.

証明

固有多項式の解が \lambda_1,\lambda_2,\dots , \lambda_n であるのと,両辺の x^n の係数の比較により,

\small \det (xE_n - A ) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots (x-\lambda_n)


が成立する。両辺の x^{n-1} の係数を比較することで,

\operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^n \lambda_k


が分かる。

証明終

可換性がある線形汎関数はトレースに限る

定理

f\colon M_n(\mathbb{C} ) \to \mathbb{C}

  • f(\alpha A+\beta B) = \alpha f(A)+\beta f(B) \,\,(\alpha, \beta\in \mathbb{C}) (線形性)
  • f(AB) = f(BA) (可換性)

をみたすとき, f(A) =c\operatorname{tr} A \,\, (c\in\mathbb{C}) (トレースの定数倍)とかける。

ここで, \color{red}M_n(\mathbb{C} )各成分が複素数である n 次正方行列全体の集合を指します。

なお,本定理は \mathbb{C} \mathbb{R} に変えても成立します。

証明

(i,j) 成分のみが 1 でそれ以外の成分が 0 である n 次正方行列を E_{ij} と書くことにする(行列単位という→行列単位とは~定義と性質~)。

f(E_{ij} ) = c_{ij} とおくと,線形性より f(A) = \sum_{i,j} c_{ij}a_{ij} とかける。

ここで,一般に E_{ij} E_{kl} =\delta_{jk} E_{il} であることに注意する。ただし, \delta_{jk}クロネッカーのデルタを表す。
f の可換性から,

\begin{aligned} & \delta_{jk} c_{il}= f(\delta_{jk} E_{il}) = f( E_{ij} E_{kl}) \\ &= f(E_{kl}E_{ij}) = f(\delta_{li}E_{kj}) = \delta_{li} c_{kj} \end{aligned}


がわかる。 j=k とすることで c_{il} = \delta_{li} c_{kk} となり,特に i \ne j のとき c_{il} = 0 i=l のとき, c_{ll} = c_{kk} となる。

以上から, c_{ij} = 0 \,\,(i\ne j ) c_{11} = c_{22} = \dots = c_{nn} がわかるから,後半の等式の値を c とおくと,

f(A) = \sum_{k=1}^n c a_{kk} =c \operatorname{tr} A


を得る。

証明終

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