転置行列の定義と基本的な性質11個の証明

線形代数学

行列における,その行と列を入れ替えた「転置行列」について,定義と,その基本的な性質を証明付きで紹介します。

転置行列の定義

定義(転置行列)

m \times n 行列

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}


に対し,その行と列を入れ替えた \color{red} n \times m 行列

\color{red} A^\top = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}


A転置行列 (transposed matrix) という。 A の転置行列は, \color{red} A^\top, A^t, {}^t\!A, {}^\top\!A, A^{\mathrm{tr}}, A^{\prime} などと書かれることが多い。

「行と列の入れ替え」とは, (i,j) 成分の値を (j,i) 成分に移すことです。イメージを図にすると,以下のような感じです。

転置行列の具体的なイメージ

転置行列は,さまざまな書き方をしますが,一般に \color{red} A^\top, {}^t\!A のどちらかが多いです。

転置行列の具体例

いくつか具体例を挙げましょう。

転置行列の例

  • {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3& 4 \end{pmatrix}}^\top = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\ 4 \end{pmatrix}.
  • {\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}^\top = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}.
  • {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}}^\top = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} .

また, \mathbb{R}^n におけるベクトルの内積は,転置行列を用いた積で記述できます。

ベクトルの内積と転置行列

\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^n を列ベクトルとする。すなわち,

\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\a_n \end{pmatrix} , \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n \end{pmatrix}


と書けるとする。このとき,この内積 \langle\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}\rangle は,各々を n\times 1 行列とみることで

\color{red} \langle\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}\rangle = \boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{b}


とかける。

実際,両辺とも a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n となるので,正しいですね。

転置行列の基本的な性質11個

ここからは,一般の行列における転置行列の性質・正方行列における転置行列の性質をそれぞれ挙げ,証明しましょう。

一般の行列に対する転置行列の基本的な性質5つ

定理(転置行列の基本的な性質)

A, B m \times n 行列とする。このとき,

  • (A^\top)^\top = A.
  • (A + B)^\top = A^\top + B^\top.
  • (kA)^\top = k A^\top, ただし k は定数。
  • C対角行列とすると, C^\top = C .

また, A m \times n 行列, B n \times l 行列とすると,

  • (AB)^\top = B^\top A^\top .

上4つはほぼ明らかでしょう。最後の式 (AB)^\top = B^\top A^\top だけ証明の概略を述べましょう。

(AB)^\top = B^\top A^\top略証

A = (a_{ij}), B=(b_{ij}), A^\top = (a_{ij}^\prime) ,B^\top = (b_{ij}^\prime) と定めると, a_{ij}^\prime = a_{ji}, b_{ij}^\prime = b_{ji} である。
さらに, C = (c_{ij})= AB, C^\prime = (c_{ij}^\prime) = B^\top A^\top と定めると,

\begin{gathered} c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}, \\ c_{ij}^\prime = \sum_{k=1}^n b_{ik}^\prime a_{kj}^\prime =\sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki} \end{gathered}


であるから, c_{ij}^\prime = c_{ji} なため, C^\top = C^\prime すなわち (AB)^\top = B^\top A^\top が従う。

略証終

もっと正確に証明するときは, i,j の範囲を明示すべきでしょう。

正方行列に対する転置行列の基本的な性質6つ

正方行列に関しては,以下のような性質があります。

定理(転置行列の基本的な性質2)

A n 次正方行列とする。このとき,

  1. \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} A^\top. (トレース)
  2. \det A = \det A^\top . (行列式)
  3. 転置行列の固有値は,元の行列の固有値と等しい。
  4. \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A^\top . (ランク)
  5. A正方行列とすると,列ベクトル \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^n の内積について,
    \langle A\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle = \langle \boldsymbol{v} , A^\top \boldsymbol{w} \rangle.
  6. A正則(可逆行列)とすると,
    (A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top.

3.で「実」にした理由は,複素数の場合は,内積の定義が異なるからです。

それぞれを証明しておきましょう。

証明

1. \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} A^\top について

\operatorname{tr} A = \sum_{k=1}^n a_{kk} = \operatorname{tr} A^\top から従う。

2. \det A = \det A^\topについて

\begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}, \\ \det A^\top &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}\\ \end{aligned}


である(→行列式(det)の定義と現実的な求め方~計算の手順~)。ここで,第2式の右辺を,最初の添え字に対して昇順に並び替えると,

\begin{aligned} &a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n} \\ &= a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \end{aligned}


であることが分かる。 \operatorname{sgn} \sigma = \operatorname{sgn} \sigma^{-1} であるから,結局,

\begin{aligned}&\det A^\top \\ &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}\\ &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma^{-1} )a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \\ &= \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma^{-1} )a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \\ &= \det A \end{aligned}


となって \det A^\top = \det A.

3. 転置行列の固有値は,元の行列の固有値と等しいことについて

\begin{aligned} \det (\lambda I - A) &= \det (\lambda I - A)^\top \\ &= \det(\lambda I - A^\top ) \end{aligned}


よりわかる(→固有値の定義と求め方をていねいに~計算の手順~)。

4. \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A^\top について

各列ベクトルに対する一次独立なものの個数と,各行ベクトルに対する一次独立なものの個数は等しく,これは階数 (rank) に一致していることから従う。

5. \langle A\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle = \langle \boldsymbol{v} , A^\top \boldsymbol{w} \rangle について

\begin{aligned}\langle A\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle &=\sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1}^n a_{ik}v_k\right) w_i \\ &=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}v_kw_i \\ & = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ik}v_kw_i \\ &=\sum_{k=1}^n v_k\left(\sum_{i=1}^n a_{ik} w_i\right) \\ &=\langle \boldsymbol{v} , A^\top \boldsymbol{w} \rangle. \end{aligned}


6. (A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top について

先ほど略証した (AB)^\top = B^\top A^\top を用いる。 I_n n単位行列とすると,

\begin{gathered} (A^{-1})^\top A^\top = (A A^{-1})^\top = I_n , \\ A^\top (A^{-1})^\top = (A^{-1} A)^\top = I_n \end{gathered}


となり,これは (A^\top)^{-1} =(A^{-1})^\top を意味する。

証明終

無事にすべて証明できました。

その他の行列

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