正則行列とは~定義と性質11個とその証明~

線形代数学

正方行列が正則であるとは,逆行列が存在することを指します。これについて,その定義と性質11個を,証明付きで順に紹介しましょう。

正則行列の定義

定義(正則行列)

A正方行列とし, I を同じ形の単位行列とする。

A が逆行列 A^{-1} をもつ,すなわち, AA^{-1} = A^{-1} A = I となる同じ形の正方行列 A^{-1} をもつとき, A正則 (regular) であるといい,そのような行列を正則行列 (regular matrix)という。

なお,複素数を成分に持つ n 次正則行列全体の集合を \color{red} GL_n(\mathbb{C}) と表すことがある。

逆行列が存在するような行列を正則行列というのですね。

行列が正則であるとき,その逆行列の求め方(計算方法)は以下の記事で解説しています。

正則行列の性質11個

正則行列の大事な性質を挙げましょう。これが今回の本題です。

定理(正則行列の性質)

A,B n 次正則行列とするとき,

  1. A に対し,逆行列 A^{-1} は一意に定まる。
  2. (A^{-1})^{-1} = A .
  3. (A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top . (転置行列)
  4. (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* . (随伴行列(共役転置))
  5. (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} . (行列の積)
  6. \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} . (行列式)
  7. \tilde{A} A余因子行列とすると, \tilde{A} = \frac{1}{\det A } A^{-1}.
  8. A固有値 \lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n とすると, A^{-1} の固有値は \lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\dots, \lambda_n^{-1} である。また,対応する固有ベクトルは同じである。
  9. 上三角行列の逆行列は上三角行列である。
  10. A を直交行列とすると,A^{-1}= A^\top である。
  11. U をユニタリ行列とすると,U^{-1} = U^* である。

一つずつ順番に証明していきましょう。

正則行列の性質11個の証明

1. 逆行列の一意姓

1. A に対し,逆行列 A^{-1} は一意に定まる。

逆行列の一意姓であり,最も基本的で重要な性質と言えるでしょう。証明していきます。

証明

A,B,Cn 次正方行列, I n 次単位行列とし,

AB = BA = I, \quad AC=CA = I


が成立するとしよう。このとき,

\begin{aligned} B &= BI = B(AC)\\&=(BA)C=IC=C \end{aligned}


より,B=C なので,逆行列は一意である。

証明終

2. 逆行列の逆行列

2. (A^{-1})^{-1} = A .

証明

AA^{-1} = A^{-1}A = I であるから, A は,A^{-1} の逆行列と見れる。逆行列の一意姓(性質1)より,

(A^{-1})^{-1} = A.

証明終

3. 逆行列の転置は転置の逆行列に等しい

3. (A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top . (転置行列)

証明

(AB)^\top = B^\top A^\top を用いる(→転置行列の定義と基本的な性質の証明)。 I n単位行列とすると,

\begin{gathered} (A^{-1})^\top A^\top = (A A^{-1})^\top = I , \\ A^\top (A^{-1})^\top = (A^{-1} A)^\top = I \end{gathered}


となり,これは (A^\top)^{-1} =(A^{-1})^\top を意味する。

証明終

4. 逆行列の随伴行列(共役転置)は随伴行列(共役転置)の逆行列に等しい

4. (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* . (随伴行列(共役転置))

これは,転置行列と逆行列の性質3で,各成分について共役を取ったものであるため,3を用いれば,4が成り立つことは明らかでしょう。

5. 行列の積と逆行列の関係

5. (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} . (行列の積)

証明

\small\begin{gathered}(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I, \\ (B^{-1}A^{-1})(AB)= B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I\end{gathered}


である。これは,行列 AB の逆行列が B^{-1}A^{-1} であることを意味する。すなわち, (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

証明終

6. 逆行列の行列式

6. \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} . (行列式)

証明

1 = \det I = \det (AA^{-1}) = \det A \det (A^{-1}) .


従って, \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} .

証明終

n 次正方行列 A,B に対して, \det (AB) =\det A \det B になることを用いましたが,これについては,行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など)を参照してください。

7. 逆行列と余因子行列の関係

7. \tilde{A} A の余因子行列とすると, \tilde{A} = \frac{1}{\det A } A^{-1}.

これは,以下の中で証明しています。

8. 逆行列の固有値は逆数になる

8. A固有値 \lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n とすると, A^{-1} の固有値は \lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\dots, \lambda_n^{-1} である。また,対応する固有ベクトルは同じである。

そもそも,行列が正則である \iff すべての固有値が 0 でないが成り立つことに注意しましょう(→固有値の定義と求め方をていねいに~計算の手順~)。

証明

固有値 \lambda に対応する固有ベクトルを \boldsymbol{v} とする。このとき,

A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}


が成立する。両辺 A^{-1} を左からかけて

\boldsymbol{v} = \lambda A^{-1} \boldsymbol{v} .


よって,

\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{v} = A^{-1}\boldsymbol{v}


であるから, A^{-1} は固有値 \lambda^{-1} をもち,対応する固有ベクトル \boldsymbol{v} は, A \lambda に対する固有ベクトルと同じである。

証明終

9. 上三角行列の逆行列は上三角行列である

9. 上三角行列の逆行列は上三角行列である。

これについては,上三角行列・下三角行列の定義と性質6つを参照してください。

10. 直交行列の逆行列は,転置行列に等しい

10. A を直交行列とすると,A^{-1}= A^\top である。

これは,直交行列の定義から明らかです。直交行列の定義を確認しましょう。

直交行列の定義

n 次正方行列 A直交行列 (orthogonal matrix) であるとは,

\color{red}AA^\top = A^\top A = I


が成立することである。

本来, A^{-1} が来るべきはずところに, A^\top が来ているので,A^{-1}= A^\top なわけですね。

11. ユニタリ行列の逆行列は,随伴行列(共役転置)に等しい

11. U をユニタリ行列とすると,U^{-1} = U^* である。

これも,ユニタリ行列の定義から明らかです。ユニタリ行列の定義を確認しておきましょう。

ユニタリ行列の定義

n 次正方行列 Aユニタリ行列 (unitary matrix) であるとは,

\color{red}AA^* = A^* A = I


が成立することである。ただし, A^*=\overline{A}^\top (随伴行列,共役転置)である。

本来, A^{-1} が来るべきはずところに, A^* が来ているので,A^{-1}= A^* なわけですね。

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