複素数と行列の対応関係を考えよう

複素数 $x+iy$ の演算は，行列 $\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$ における演算と対応しています。

この対応関係について，掘り下げて考えていきましょう。

複素数と行列の対応関係
複素数と行列が対応していることの証明
「対応」のちゃんとした主張

複素数と行列の対応関係

複素数と行列の対応関係

複素数 $\color{red} x+iy$ と行列 $\color{red} \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$ は四則演算に関して対応している。

「対応」とは，ちょっとあいまいな言葉ですが，ラフにいうと「複素数の世界の四則演算」と「行列の世界の四則演算」が「同じようなものになっている」という意味です。たとえば，

\begin{aligned}1 &\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ i & \longleftrightarrow \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{aligned}

ですが，この左辺・右辺それぞれの和を考えると， $1+i, \; \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1& 1 \end{pmatrix}$ となります。これはちゃんと

1+i \longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1& 1 \end{pmatrix}

になっていますね。また， $i \longleftrightarrow \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ それぞれの積を考えると， $i^2 = -1, \; \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ となりますが，これについても，

-1 \longleftrightarrow \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

となっていますね。

要するに，四則演算が対応しているとは，

\color{red}\begin{aligned}&z_1\longleftrightarrow A_1,\; z_2\longleftrightarrow A_2 \\ &\implies z_1\pm z_2 \longleftrightarrow A_1\pm A_2, \;z_1z_2 \longleftrightarrow A_1A_2\end{aligned}

などが成立することを言います。実際は，上は和・差・積だけで，商については，

\color{red} z_1z_2^{-1} = A_1A_2^{-1}

と考えます。左側は単に $z_1/z_2$ の意味で，右辺は逆行列を考えています。

複素数と行列が対応していることの証明

さて，「対応している」ことを厳密に証明しておきましょう。

愚直に計算してもいいですが， $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と $J= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を用いると非常に見通しがよくなります。これを用いましょう。

証明

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; J= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ とおくと，

\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} = xI+yJ

であり，また $I^2 = I,\; J^2 = -I,\; IJ=JI = J$ もわかる。

和・差の対応関係について， $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ とすると，複素数の計算では

(a+bi)\pm(c+di) = (a\pm c)+(b\pm d)i

である。一方，行列の計算は

(aI+bJ)\pm(cI+dJ) \!= \!(a\pm c)I + (b\pm d)J

となって，対応している。

積の対応関係について， $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ とすると，複素数の計算では

(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

である。一方，行列の計算は

(aI+bJ)(cI+dJ) \!= \!(ac-bd)I \!+\! (ad+bc)J

となって，対応している。

商の対応関係について，対応する $z, A$ に対し， $z^{-1}, A^{-1}$ が対応していることを示せばよい。これが示せれば，積の対応関係も用いることで，任意の2つの商の対応関係が示せたことになるからである。

$a,b\in \mathbb{R}\setminus\{(0,0)\}$ とすると，複素数の計算では

(a+bi)^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i

であり，行列の計算では，

\begin{aligned}(aI+bJ)^{-1} &= \begin{pmatrix} a& -b \\ b & a \end{pmatrix}^{-1}\\ &= \frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \\&= \frac{a}{a^2+b^2} I - \frac{b}{a^2+b^2}J \end{aligned}

であるから，対応している。

証明終

$I$ が $1$ ， $J$ が $i$ に対応していて，同じような計算ができるってことですね。

「対応」のちゃんとした主張

今まで「対応」という曖昧な言葉を使ってきましたが，ちゃんと数学的に厳密な主張を述べ，終わりにしたいと思います。

定理（複素数と行列の対応関係）

複素数体 $\mathbb{C}$ と実2次正方行列の部分体 $\mathscr{C} = \left\{ \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \middle| x,y\in\mathbb{R}\right\}$ を定める。
このとき， $f\colon \mathbb{C} \to\mathscr{C}$ を