上三角行列・下三角行列の定義と性質6つ

線形代数学

正方行列における,上三角行列・下三角行列の定義とその性質6つを紹介します。

上三角行列・下三角行列(三角行列)の定義

定義(上三角行列・下三角行列)

A = (a_{ij})正方行列とする。

\color{red} i > j \implies a_{ij} = 0 が成立するとき,すなわち

\color{red} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn} \end{pmatrix}


のとき,これを上三角行列(upper triangular matrix) あるいは右三角行列 (right triangular matrix) という。

逆に, \color{red} i < j \implies a_{ij} = 0 が成立するとき,すなわち

\color{red} A = \begin{pmatrix} a_{11} &&& \huge{0}\\ a_{21} & a_{22} \\ \vdots&& \ddots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}


のとき,これを下三角行列 (lower triangular matrix)あるいは左三角行列 (left triangular matrix) という。

上三角行列・下三角行列を合わせて三角行列 (triangular matrix) という。

上三角行列・下三角行列の図

対角成分より下が 0 となる行列を上三角行列,対角成分より上が 0 となる行列を下三角行列というんですね。

上三角行列・下三角行列(三角行列)の具体例

簡単な具体例を挙げておきましょう。

三角行列の具体例

  • \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} は上三角行列。
  • \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} は下三角行列。
  • 対角行列は上三角行列かつ下三角行列。
  • 零行列や単位行列は上三角行列かつ下三角行列。

三角行列の性質

性質を挙げましょう。

定理(三角行列の性質)

A = (a_{ij}),\, B=(b_{ij}) n 次の上三角行列とする。このとき,

  1. 上三角行列の和・定数倍もまた上三角行列である。
  2. AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & * & \dots & * \\ & a_{22}b_{22} &\dots & * \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix}.

    特に,上三角行列のもまた上三角行列である。
  3. A^\top は下三角行列である(転置行列)。
  4. \det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}. (行列式)
  5. a_{ii} \ne 0 \,\, (1 \le i \le n) のとき, A^{-1}
    A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} & * & \dots & * \\ & a_{22}^{-1} &\dots & * \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn}^{-1} \end{pmatrix}

    の形をしている。特に,上三角行列の逆行列は上三角行列である。
  6. A固有値 a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn} である。

なお,すべての主張は「上三角行列」と「下三角行列」の言葉を入れ替えても全く同様に成立します。

証明は簡単なので省略します。

その他の行列

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