部分ベクトル空間の基底の延長により全体空間の基底が取れる証明

線形代数学

線形代数学,特にベクトル空間とその部分空間における「基底の延長定理」を紹介し,証明します。

ベクトル空間における基底の延長定理

定理(基底の延長)

V を有限次元ベクトル空間とし, W \subsetneq V をその部分空間とする。このとき, W基底 \{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_d} \} とすると,それを延長して, \{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_d} , \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots, \boldsymbol{v_r}\} V の基底になるようにできる。

ただし, d = \dim W, \, d+r = \dim V である(ベクトル空間の次元)。

基底の延長のイメージ

部分空間の基底がどんなのであっても,それに「付け加える」形で全体空間の基底が取れるということですね。

なお,ここでいう「基底」とは特に特別なもの(正規直交基底など)ではなく,特殊な条件を課さないものとしています。加えて,今は有限次元ベクトル空間としています。無限だと,以下の証明に支障が出るため,今回はそうします。

さて,証明しましょう。

基底の延長定理の証明

証明

W \subsetneq V より, \{ \boldsymbol{w_1}, \dots , \boldsymbol{w_d} \}の一次結合で表せないある \boldsymbol{v_1} \in V が存在する。 このとき, \{\boldsymbol{w_1}, \dots , \boldsymbol{w_d} , \boldsymbol{v_1}\}一次独立である。実際,

l_1 \boldsymbol{w_1} + \dots + l_d \boldsymbol{w_d} + k_1 \boldsymbol{v_1} = \boldsymbol{0}


とすると, \boldsymbol{v_1} W の基底で表せないため k_1 = 0 であり,これより l_1 = \dots = l_d = 0 も従うからである。

さて,次は \{ \boldsymbol{w_1}, \dots , \boldsymbol{w_d}, \boldsymbol{v_1} \} の一次結合で表せないある \boldsymbol{v_2} を取る。すると,上と同様の議論により, \{\boldsymbol{w_1}, \dots , \boldsymbol{w_d}, \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2} \} は一次独立となる。

以下同様の操作を, \{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_d} , \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots, \boldsymbol{v_r}\} の一次結合で表せない V の元がなくなるまで繰り返せばよい。(繰り返す回数は r= \dim V - \dim W 回となる)

証明終

帰納的な「繰り返し」により証明できました。

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