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線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明

線形代数学
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まず,線形写像における像 (image)・核 (kernel) の定義を確認・図解します。そしてそれがベクトル空間になることを証明します。

Im, Ker の定義と図解

定義(像; image,核; kernel)

V, W ベクトル空間とし, f\colon V \to W 線形写像とする。このとき,

\color{red} \operatorname{Im} f = f(V) = \{f(\boldsymbol{x}) \in W \mid \boldsymbol{x} \in V \}


f (image) といい,

\color{red} \operatorname{Ker} f = f^{-1} (\boldsymbol{0}) = \{ \boldsymbol{x} \in V \mid f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0} \}


f (kernel) という。

\operatorname{Im} f \subset W, \,\, \operatorname{Ker} f \subset V となることに注意しましょう。

図で描くと,以下のようなイメージです。

線形写像における像 (Im) のイメージ
線形写像における核 (Ker) のイメージ

Im, Ker はベクトル空間になる

さて,見出しの通り以下が成立します。

定理の主張

定理

V, W をベクトル空間とし, f\colon V \to W を線形写像とする。このとき,
\operatorname{Im} f ,\,\, \operatorname{Ker} f はそれぞれ W, V 部分ベクトル空間になる。

これを証明しましょう。

証明

証明

示すべきことは,スカラー倍 k_1, k_2 に対し,

\begin{gathered} \boldsymbol{y_1}, \boldsymbol{y_2} \in \operatorname{Im} f \implies k_1 \boldsymbol{y_1} + k_2 \boldsymbol{y_2} \in \operatorname{Im} f, \\ \boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2} \in \operatorname{Ker} f \implies k_1 \boldsymbol{x_1} + k_2 \boldsymbol{x_2} \in \operatorname{Ker} f \end{gathered}


となることである(→ ベクトル空間・部分ベクトル空間の定義と具体例10個)。

まず全射について証明しよう。

\boldsymbol{y_1}, \boldsymbol{y_2} \in \operatorname{Im} f とする。定義より,ある \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2} \in V が存在して,

f(\boldsymbol{v_1}) = \boldsymbol{y_1}, f(\boldsymbol{v_2}) = \boldsymbol{y_2}


が成立する。 V はベクトル空間であるから, k_1 \boldsymbol{v_1} + k_2 \boldsymbol{v_2} \in V であり,写像の線形性より

\begin{aligned} f(k_1\boldsymbol{v_1}+k_2\boldsymbol{v_2}) &= k_1 f(\boldsymbol{v_1}) + k_2f(\boldsymbol{v_2}) \\ &= k_1 \boldsymbol{y_1} + k_2 \boldsymbol{v_2} \end{aligned}


となり,特に k_1 \boldsymbol{y_1} + k_2 \boldsymbol{v_2} \in \operatorname{Im} f である。

後者について証明しよう。

\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2} \in \operatorname{Ker} f とする。定義から, f(\boldsymbol{x_1}) = f(\boldsymbol{x_2}) = \boldsymbol{0} である。線形性から

\begin{aligned} f(k_1\boldsymbol{x_1}+k_2\boldsymbol{x_2}) &= k_1 f(\boldsymbol{x_1}) + k_2f(\boldsymbol{x_2}) \\ &= \boldsymbol{0} \end{aligned}


なので, k_1\boldsymbol{x_1}+k_2\boldsymbol{x_2} \in \operatorname{Ker} f である。

証明終

線形写像とそのIm, Kerにまつわるその他の性質

線形写像と \operatorname{Im}, \operatorname{Ker} に関連するその他の性質を挙げましょう。

線形写像が単射になる必要十分条件

線形写像が単射であるか確認するときは,単に \operatorname{Ker} を見るだけでよいです。

定理(線形写像の単射性)

V, Wベクトル空間 f\colon V\to W 線形写像とする。
このとき,これが単射になる必要十分条件は

\operatorname{Ker} f = \{\boldsymbol{0}\}


となることである。

これについては,以下で解説しています。

線形写像の次元等式

定理(線形写像の次元等式)

V, W ベクトル空間 f\colon V\to W 線形写像とする。このとき,

\color{red} \dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f


となる。

ここで \operatorname{rank} とは,日本語では階数と呼ばれ, \color{red} \operatorname{rank} f = \dim \operatorname{Im} f と定義されます。

これについては以下で解説しています。