行列単位とは~定義と性質~

線形代数学

行列単位とは, (i,j) 成分のみが 1 で,それ以外の成分が 0 となる行列を指します。これについて,その定義と積に関する性質を紹介します。

行列単位の定義

定義(行列単位)

(i,j) 成分のみが 1 でそれ以外の成分が 0 である m\times n 行列 \color{red} E_{ij}行列単位 (matrix unit)という。

行列単位の定義のイメージ

注意ですが,単位行列(identity matrix) とは定義が違います。比較のために,単位行列の定義を述べておきましょう。

比較~単位行列とは~

n 次正方行列において,(左上から右下への)対角成分のみ 1 でそれ以外は 0 である行列,すなわち

a_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j, \\ 0 & i \ne j \end{cases}


となる行列を n 次単位行列 (identity matrix) という。

n 次単位行列は

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}


の形である。 n 次単位行列は I, E I_n, E_n と書かれることが多い。

(i,i), \,\, 1\le i\le n 成分すなわち対角成分が 1 であり,それ以外が 0 である行列が単位行列,単に (i,j ) 成分1つのみが 1 である行列を行列単位というんですね。

行列単位の性質

行列単位と積の性質を述べましょう。

命題(行列単位と積)

1. E_{ij} m \times n 行列の行列単位, A=(a_{ij}) n \times l 行列とするとき,

E_{ij}A の計算結果

i 行となっているのは,第 j 行の誤植ではありませんので注意してください。

2. A=(a_{ij}) m \times n 行列, E_{ij} n \times l 行列の行列単位とするとき,

AE_{ij} の計算結果

3. E_{ij} m\times n 行列の単位行列, E_{kl} n \times p 行列とするとき,
E_{ij} E_{kl} = \delta_{jk} E_{il}.
ただし, \delta_{jk}クロネッカーのデルタであり, \delta_{jk} =\begin{cases} 1 & \text{if }j=k \\ 0 & \text{if } j\ne k\end{cases} と定義される。

行列の積が分かれば,証明は明らかなので省略しましょう。

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