スカラー行列とは~定義と大事な性質~

線形代数学

スカラー行列とは,単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで,まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて,定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。

スカラー行列の定義

定義(スカラー行列)

\large \color{red} A=\begin{pmatrix} a \\ & a&& \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a \end{pmatrix}


のように,対角成分以外は全て 0 で,対角成分は全て等しい行列をスカラー行列 (scalar matrix) という。

スカラー行列のイメージ図

特に,n正方行列がスカラー行列のとき,n 次スカラー行列といいます。

スカラー行列とは要するに単位行列の定数倍の行列,すなわち \color{red} A = aI_n のような行列を指します。「スカラー行列」という名前は,ほぼスカラー(定数)のように扱える行列だということです。

単位行列零行列もスカラー行列の一種です。

スカラー行列の大事な性質

定理(スカラー行列の性質)

An 次スカラー行列とする。このとき,任意の n正方行列 B に対して,

\large \color{red}AB=BA


が成り立つ。逆に,これが任意の n 次正方行列 B について成り立つならば, A はスカラー行列である。

前半はほぼ自明でしょう。「逆に,」以降の方が大事です。よって後半を証明していきましょう。

後半の証明

A=(a_{ij}) とする。

B (i,j) 成分のみ 1 でそれ以外が 0 の行列とする ( B=E_{ij} 行列単位)。このとき,

ABの計算結果
BAの計算結果


であり, AB = BA なので,

\begin{gathered} a_{i1} =\dots = a_{i\, i-1} = a_{i\, i+1} =\dots = a_{in}= 0 ,\\ a_{1j}=\dots =a_{j-1\, j} = a_{j+1\, j} =\dots = a_{nj}=0 \end{gathered}


かつ a_{ii} =a_{jj} である。i,j を任意に動かすことで, k\ne l のとき, a_{kl}=0 であり,また

a_{11}=a_{22}=\dots =a_{nn}


なので, A はスカラー行列である。

証明終

なお,スカラー行列は対角行列の1つですから,対角行列の性質がすべて成立します。対角行列の性質は以下で解説しています。

その他の行列

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