2変数・多変数におけるテイラー展開・マクローリン展開

微分積分学(大学)

2変数関数 f(x,y) の点 (a,b) におけるテイラー展開は

f(a+h,b+k)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n \! f(a,b)


とかけます。本記事では,このような2変数,あるいはより一般に多変数におけるテイラーの展開・マクローリン展開を,テイラーの定理・マクローリンの定理も同時に述べながら解説します。

2変数におけるテイラー展開・マクローリン展開

まずは,2変数におけるテイラーの定理・マクローリンの定理を考え,それからテイラー展開・マクローリン展開を述べましょう。

本記事では,2変数・多変数の話の解説です。1変数のときは以下の記事を参照してください。

2変数におけるテイラーの定理・マクローリンの定理

以下では簡単のため, f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} としましょう。

定理(2変数におけるテイラーの定理)

f(x,y) C^n 級であるとし,

\color{red}\begin{aligned}&f(a+h,b+k)\\&=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{m!}\left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a,b) +R_n \end{aligned}


としたとき,\displaystyle \color{red}R_n = \frac{1}{n!} \left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(a+\theta h, b+\theta k) となる 0<\theta <1 が存在する。

このときの R_n剰余項という。

上の定理において, a=b=0 としたものがマクローリンの定理です。

定理(2変数におけるマクローリンの定理)

f(x,y) C^n 級であるとし,

\color{red}\begin{aligned}&f(h,k)\\&=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{m!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(0,0) +R_n \end{aligned}


としたとき,\displaystyle\color{red} R_n = \frac{1}{n!} \left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(\theta h, \theta k) となる 0<\theta <1 が存在する。

ここで,

\begin{aligned} &\left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m\\ &= \sum_{r=1}^m {}_m \mathrm{C}_r \,h^{m-j}k^r \frac{\partial^n f}{\partial x^{m-r} \partial y^r} (a+ht,b+kt) \end{aligned}


の意味です。二項定理ですね。

テイラーの定理の証明は,後で行うことにしましょう。

これを無限和に拡張したものがテイラー展開・マクローリン展開です。その定義を述べましょう。

2変数におけるテイラー展開・マクローリン展開

定義(2変数におけるテイラー展開)

f C^\infty 級であるとする。テイラーの定理において, R_n \xrightarrow{n\to\infty} 0 であるとき,

\color{red}\begin{aligned}&f(a+h,b+k)\\&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n \! f(a,b) \end{aligned}


と表せる。これを (a,b) のまわりのテイラー展開 (Taylor expansion) という。任意の点のまわりでテイラー展開可能であるとき, f解析的 (analytic) であるという。

定義(2変数におけるマクローリン展開)

f C^\infty 級であるとする。マクローリンの定理において, R_n \xrightarrow{n\to\infty} 0 であるとき,

\color{red}\begin{aligned}f(h,k)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(0,0) \end{aligned}


と表せる。これをマクローリン展開 (Maclaurin expansion) という。

注意ですが, C^\infty 級だからといって解析的(テイラー展開可能)とは限りません。これは,一変数のときの例が有名です。テイラー展開・マクローリン展開とは【解析的な関数と具体例】のラストの方で解説しています。

2変数におけるテイラーの定理の証明

テイラーの定理を証明しておきましょう。

証明は, t\mapsto f(a+th, b+tk) のように一変数関数と思って,一変数のときのテイラーの定理を適用すればよいです。

証明

\varphi(t)=f(a+th, b+tk) とおく。すると,一変数のときのテイラーの定理から,ある 0<\theta <1 が存在して,

\varphi(1)=\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\varphi^{(m)}(0)}{m!}+\frac{1}{n!}\varphi^{(n)}(\theta)\tag{1}


とできる。合成関数の偏微分の連鎖公式(チェインルール)から,

\varphi^{(m)} (t)= \left(h\frac{\partial}{\partial x}+ k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a+th, b+tk)


であるため,これを (1) 式に代入すればよい。

証明終

証明は,思ったより短く感じたかもしれませんね。

多変数におけるテイラー展開・マクローリン展開

より一般に, f\colon \mathbb{R}^d \to\mathbb{R} の場合のテイラー展開・マクローリン展開について述べておきましょう。

多変数におけるテイラーの定理・テイラー展開

f C^n 級であるとすると,

\color{red} \begin{aligned}&f(a_1+h_1, \dots, a_d+h_d)\\ &=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{m!} \left(h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\dots + h_d\frac{\partial }{\partial x_d}\right)^m \\ &\qquad \times f(a_1,\dots, a_d)+R_n,\\ R_n&= \frac{1}{n!} \left(h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\dots + h_d\frac{\partial }{\partial x_d}\right)^n \\ &\qquad \times f(a_1+\theta h_1,\dots, a_d+\theta h_d) \end{aligned}


となる 0<\theta <1 が存在する。 このときの R_n剰余項という。

また, f C^\infty 級で R_n\xrightarrow{n\to\infty} 0 のときは,

\color{red} \begin{aligned}&f(a_1+h_1, \dots, a_d+h_d)\\ &\!\!=\!\! \sum_{n=0}^{\infty}\! \frac{1}{n!} \!\! \left(\!h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\dots + h_d\frac{\partial }{\partial x_d}\!\right)^n\!\!\! f(a_1,\dots, a_d) \end{aligned}


と表せ,これを (a_1,\dots, a_n) のまわりのテイラー展開 (Taylor expansion) という。

n 乗の部分は,多項定理を用いて展開したものを形式的に表現しています。

ここで, \boldsymbol{a}=(a_1,\dots, a_d),\; \boldsymbol{h}=(h_1,\dots, h_d) d 次元ベクトルとし, \nabla = (\frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_d}) を微分演算子とすると,テイラー展開は

\color{red} f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}) =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\nabla \cdot \boldsymbol{h})^n f(\boldsymbol{a})


とスッキリかけます。ここで, \cdot は内積を指します。

上で, \boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} としたものがマクローリンの定理・マクローリン展開です。

多変数におけるマクローリンの定理・マクローリン展開

f C^n 級であるとすると,

\color{red} \begin{aligned}&f(h_1, \dots, h_d)\\ &=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{m!} \left(h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\dots + h_d\frac{\partial }{\partial x_d}\right)^m \\ &\qquad \times f(0,\dots,0)+R_n,\\ R_n&= \frac{1}{n!} \left(h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\dots + h_d\frac{\partial }{\partial x_d}\right)^n \\ &\qquad \times f(\theta h_1,\dots, \theta h_d) \end{aligned}


となる 0<\theta <1 が存在する。

また, f C^\infty 級で R_n\xrightarrow{n\to\infty} 0 のときは,

\color{red} \begin{aligned}&f(h_1, \dots, h_d)\\ &\!=\! \sum_{n=0}^{\infty} \!\frac{1}{n!} \!\!\left(h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+\dots + h_d\frac{\partial }{\partial x_d}\right)^n\!\! f(0,\dots, 0) \end{aligned}


と表せ,これをマクローリン展開 (Maclaurin expansion) という。

テイラー展開のときと同じくスッキリかくと

\color{red} f(\boldsymbol{h}) =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (\nabla \cdot \boldsymbol{h})^n f(\boldsymbol{0})


ですね。

多変数におけるテイラーの定理の証明は,2変数のときとほぼ同じですから,省略します。

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