線形代数学において，ベクトル空間の間の大事な写像は線形写像ですが，無限次元の線形代数ともいわれる関数解析学では，定義域が空間全体とは限らない「線形作用素」が大事になります。
今回は，そんな線形作用素について定義し，さらに性質の良い「有界線形作用素」について定義と具体例を紹介していきましょう。
線形作用素とは
早速，線形作用素の定義と具体例を紹介しましょう。
線形作用素の定義
定義（線型作用素）
X,Y をベクトル空間とする。このとき， T が X から Y への線形作用素 (linear operator) あるいは単に作用素 (operator) であるとは，ある部分ベクトル空間 A\subset X が存在して， T\colon A\to Y が線形写像になっていることを言う。
このとき， A を T の定義域 (domain) といい， \large \color{red} D(T)=A とかく。また， \{ Tx\mid x\in D(T)\} を値域 (range) といい， \large\color{red} R(T) とかく。
ここでいう，線形写像と線形作用素の違いは，その定義域にあります。 T が X から Y への「線形写像」と言ったときには，定義域は X 全体でなければなりませんが，「線形作用素」と言ったときには，定義域は X の部分空間であればOKです。
線形写像のときと同じですが，「線形」とは，以下が成り立つことを指します。以下， T(x) を Tx と略記します。関数解析においては，勘違いのない場合，括弧は省略するのが普通です。
以下， x,y\in D(T),\; \alpha\in \mathbb{C} とする。以下が成り立つとき，線形 (linear) であるという。
- T(x+y)=Tx+Ty
- T(\alpha x) = \alpha Tx
線形性については，線形写像の定義・性質と具体例8つで詳しく取り扱っています。
なお，単に「作用素」といったときには，線形性を課さないこともありますが，大学課程である関数解析学では，線形作用素のことを意味するのが普通です。
値域 R(T)\subset Y は Y の部分空間になります。
線形作用素の具体例
線形作用素の例（微分作用素）
X を (0,1) 上の実数値関数全体のなすベクトル空間とし，T = \dfrac{d}{dx} を D(T) = C^1(0,1) 上の微分作用素とする。すなわち， f\in D(T) に対し， Tf = f' とする。
この T は X から X の線形作用素である。
関数解析学はよく微分方程式論で用いられますから，上記の例は非常に重要です。
有界線形作用素
線形作用素のうち，有界線形作用素と呼ばれるものは，非常に性質が良く，基本的で重要なものです。紹介していきましょう。
有界線形作用素の定義
定義（有界線形作用素）
X,Y をノルム空間とし， T を X から Y への線形作用素とする。以下の2つが成立するとき， T を有界線形作用素 (bounded linear operator) あるいは単に有界作用素 (bounded operator) という。
- \color{red}\large D(T)=X
- ある M>0 が存在して， \color{red} \large \|Tx\|\le M\|x\| \; (x\in X)
\|Tx\|\le M\|x\| \; (x\in X) の左辺・右辺はそれぞれ X,Y という別の空間のノルムですから，たとえば \|Tx\|_Y\le M\|x\|_X \; (x\in X) のように，ノルムの空間を明示したかき方をした方が丁寧でしょう。
作用素が有界とは，単に2.が成り立つだけではなく，定義域が X 全体になることをいうわけですね。
有界線形作用素の具体例
有界線形作用素の例（積分作用素）
K\colon [0,1]\to \R を有界な連続関数とし， L^1[0,1] を実数値可積分関数 ( \int_0^1|f(x)|\,dx<\infty となる関数) 全体の集合にノルム
\|f\|_1 = \int_0^1|f(x)|\,dx
をいれたバナッハ空間とする。このとき， T\colon L^1[0,1]\to L^1[0,1] を
と定めると， T は有界線形作用素である。
有界線形作用素であることを確認しておきましょう。 K(x) は有界なので， |K(x)|<M\; (0\le x\le 1) となる M>0 を取ります。このとき， f\in L^1[0,1] に対して，
\begin{aligned} \|Tf\|_1 &= \int_0^1 \left| \int_0^{1-x} K(y) f(x+y)\, dy \right|\, dx \\ &\le \int_0^1 \int_0^{1-x} |K(y) f(x+y)|\, dy dx \\ &\le M\int_0^1 \int_0^{1-x} |f(x+y)|\, dy dx \\ &\le M \int_0^1 \|f\|_1 dx \\ &= M \|f\|_1 \end{aligned}
ですから， D(T)=L^1[0,1] かつ \|T f\|_1\le M \|f\|_1 が成り立ちます。よって， T は有界ですね。
有界性と連続性
有界性と密接に関連しているのが連続性です。有界線形作用素は，この「連続性」の性質があるからこそ，非常に重要で扱いやすい概念になっています。
定理（有界性と連続性）
X,Y をノルム空間とし， T を X から Y への線形作用素とする。このとき，次の3つは同値である。
- ある M>0 が存在して，\color{red} \|Tx\|\le M\|x\| \; (x\in D(T))
- T は D(T) 上連続である。すなわち，\color{red} \{ x_n \} \subset D(T),x\in D(T),\; x_n\to x\implies Tx_n \to Tx が成立する。
- T はある一点 y \in D(T) で連続である。すなわち， \color{red} \{ x_n \} \subset D(T), x_n\to y\implies Tx_n\to Ty が成立する。
この定理により，有界線形作用素は，「 D(T)=X かつ性質3.が成り立つもの」だと定義しても良いことになります。
証明しておきましょう。
証明
1.\implies 2.について
\|Tx_n -Tx\|\le M\|x_n-x\|\xrightarrow{n\to\infty} 0 より，すぐわかる。
2. \implies 1.について
背理法で示す。このような M>0 が存在しないとすると，任意の n\ge 1 に対し， x_n \in D(T) が存在して， \|Tx_n\|>n \|x_n\| とできる。 y_n =x_n/\|Tx_n\| とおくと， y_n \in D(T) であり，
\|Ty_n\| =1,\quad \|y_n\| < \frac{1}{n}
となる。右側の式より， n\to\infty とすると， y_n\to 0 となる。これと連続性の仮定2.より， Ty_n \to 0 のはずだが， \|Ty_n\| = 1 に矛盾する。
2.\implies 3.は明らか。
3.\implies 2.について
x\in D(T) とし， x_n\to x となる \{x_n\}\subset D(T) をとる。 T は y\in D(T) で連続なので，
\begin{aligned} Tx_n &= T(x_n -x+y) +T(x-y) \\ &\xrightarrow{n\to\infty} Ty+T(x-y)=Tx\end{aligned}
となり， T は任意の x\in D(T) でも連続である。
証明終
有界線形作用素のなす空間
X,Y をノルム空間とし， X から Y への線形作用素全体の集合を \large \color{red} \mathcal{L}(X,Y) とします。 このとき， \mathcal{L}(X,Y) はベクトル空間になり，さらに作用素の有界性の定義から，各 T\in \mathcal{L}(X,Y) に対し，
\|T\| = \sup_{x\in X\setminus \{0\}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}<\infty
が定まり，これはノルムになります。このノルムを作用素ノルム (operator norm) といいます。したがって， \mathcal{L}(X,Y) はノルム空間になります。特に， X^* = \mathcal{L}(X,\mathbb{C}) のことを双対空間 (dual space) といい， X の性質を調べるために，X^* の性質に着目することも多いです。
この辺については，以下で解説しています。
