ヘルダーの不等式とその証明

関数解析学

ヘルダーの不等式とは,関数解析学における基本的な不等式であり,コーシーシュワルツの不等式の一般化にもなっています。

ヘルダーの不等式について,その主張と証明を分かりやすく紹介します。

ヘルダーの不等式

ヘルダーの不等式 (Hölder’s inequality)

1\le p,q\le \infty,\; 1/p+1/q=1 であり, f\in L^p(\mathbb{R}),\; g\in L^q(\R) とする ( p=\infty なら q=1 とする。逆も同じ)。このとき,

\color{red}\large \| fg\|_1 \le \| f\|_p \|g\|_q


である。 \|\cdot \|_p L^p ノルムを意味する。すなわち, 1<p,q<\infty のときは

\color{red}\int_\R |fg|\,dx\le \left(\int_\R |f|^p\,dx\right)^{1/p} \left(\int_\R |g|^q\,dx\right)^{1/q}


が成り立つ。特に fg\in L^1(\R) である。

これはコーシーシュワルツの不等式の一般化になっています。実際, p=q=1/2 とすると,

\int_\R |fg|\,dx\le \sqrt{\int_\R |f|^2\,dx} \sqrt{\int_\R |g|^2\,dx}


であり,すなわち |\langle f,g\rangle|\le \| f\|_2 \|g\|_2 となりますね。

また,ヘルダーの不等式は一般の測度空間上の積分でも証明可能です(証明はこれから紹介するものと全く同じです)。すなわち, 1<p,q<\infty のときは

\int |fg|\,d\mu\le \left(\int_\R |f|^p\,d\mu\right)^{1/p} \left(\int_\R |g|^q\,d\mu\right)^{1/q}


です。\mu =\sum_{n=1}^\infty {\delta_n} ( \delta_n n に重みを持つデルタ測度) とすれば,級数版のヘルダーの不等式

\color{red}\sum_{n=1}^\infty |a_nb_n|\le\left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{1/q}\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^q\right)^{1/q}


も導けます。

ヘルダーの不等式の証明

証明すべきは 1/p+1/q=1 に対し, \| fg\|_1 \le \| f\|_p \|g\|_q であり,特に 1<p,q<\infty のときは

\int_\R |fg|\,dx\le \left(\int_\R |f|^p\,dx\right)^{1/p} \left(\int_\R |g|^q\,dx\right)^{1/q}


でした。早速証明をやっていきましょう。

証明

1<p,q<\infty のとき

\|f\|_p=0 のとき, f=0,\; \text{a.e.} なので, fg=0,\; \text{a.e.} であり, \|fg\|_1=0 より明らか。 \|g\|_q=0 でも同じなので, \|f\|_p, \|g\|_q>0 としてよい。

\tilde{f}=f/\|f\|_p,\; \tilde{g}=g/\|g\|_q とする。このとき, \|\tilde{f}\|_p = \|\tilde{g}\|_q=1 である。ヤングの不等式より,

|\tilde{f}\tilde{g}|\le \frac{|\tilde{f}|^p}{p}+\frac{|\tilde{g}|^q}{q}


である(→ヤングの不等式の証明とその一般化)。この両辺積分すると,

\|\tilde{f}\tilde{g}\|_1\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}(=1)


なので,

\frac{\|fg\|_1}{\|{f}\|_p \|{g}\|_q}\le 1


である。よって \| fg\|_1 \le \| f\|_p \|g\|_q である。

p=\infty または q=\infty のとき

同じことなので, p=\infty, \; q=1 とする。 |f|\le \|f\|_\infty,\;\text{a.e.} なので,

\int_\R |fg|\,dx \le \int_\R \|f\|_\infty |g|\,dx = \|f\|_\infty\int_\R |g|\,dx


すなわち, \|fg\|_1\le \|f\|_\infty \|g\|_1 である。

証明終

なお, 1<p,q<\infty のとき,等号成立は f=0,\;\text{a.e.} または g=0,\;\text{a.e.} または |{f}|^p = c|{g}|^q \; \text{a.e.} となる定数 c が存在するときになります。これは,ヤングの不等式の等号成立条件を考えればわかります。

p=\infty のときの等号成立条件は g=0,\;\text{a.e.} または |f|a.e.で定数関数であることです。

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