累積分布関数(分布関数)の定義と例と性質7つ

確率論

確率論における,累積分布関数(もしくは単に分布関数ともいう)は, F(x) = P(X\le x ) と定義されます。これについて,その例と性質7つを紹介します。

累積分布関数(分布関数)の定義

まずはもう一度,定義をちゃんと述べておきましょう。

定義(累積分布関数;分布関数)

X を実数値確率変数とする。このとき,

\color{red} F(x) = P(X\le x) = P(X\in (-\infty, x] )


累積分布関数 (cumulative distribution function; CDF) または単に分布関数 (distribution function) という。

測度論的確率論では,単に「分布関数」ということの方が多いです。

もし X が連続型確率分布であり,その確率密度関数を p(x) とすると,

F(x) = P(X\in (-\infty, x] ) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx

すなわち,確率密度関数の不定積分になるわけですね。

累積分布関数(分布関数)の例

例を3つ挙げましょう。

離散一様分布の累積分布関数

P(X=k) = \frac{1}{n}\quad (k=1,2,\ldots, n )


となる離散一様分布を考えましょう。これについて,累積分布関数は,

F(x)=P(X\le x) = \sum_{k\le x} P(X=k) = \frac{\lfloor x \rfloor}{n}


とかけます。ただし,\lfloor x \rfloor床関数(ガウス記号)を表します。図で描くと,以下の通りです。

離散一様分布の確率質量関数と累積分布関数

離散型の確率変数の場合は,累積分布関数は不連続な関数になります。

離散一様分布の詳細については,一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ~離散型・連続型~を参照してください。

連続一様分布の累積分布関数

確率密度関数が p(x) = \begin{dcases} \frac{1}{b-a} & a\le x \le b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{dcases} となる連続一様分布を考えましょう。これについて,累積分布関数は,

F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{dcases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} &a\le x \le b, \\ 1 & b \le x \end{dcases}


となります。図で描くと,下のようになります。

連続一様分布の詳細については,一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ~離散型・連続型~を確認してください。

指数分布の累積分布関数

確率密度関数が p(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x\ge 0 , \\ 0 & x < 0 \end{cases} となる指数分布を考えましょう。これについて,累積分布関数は,

F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{cases} 0 & x< 0, \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}


となります。グラフで描くと,以下のようになります。

累積分布関数(分布関数)の性質7つ

さて,今回考える累積分布関数の性質7つを紹介しましょう。

定理(累積分布関数の性質)

F を累積分布関数とするとき,

  1. F は広義単調増加である。
  2. F(-\infty) = \lim_{x\to-\infty} F(x) =0 , \quad F(\infty)=\lim_{x\to\infty} F(x) =1.
  3. F は右連続である。
  4. F の不連続点は高々可算個である。
  5. 確率密度関数 p(x) が存在するとき, F は連続である。
  6. P(a<X\le b) = F(b) - F(a), \quad P(a\le X\le b ) = F(b)-F(a-) . ただし, F(a-) = \lim_{x\to a-} F(x) と定義する。
  7. P(X\ge 0) = 1 (すなわち F(0-)=0 )のとき, E[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\, dx\in [0,\infty].

順番に考えていきましょう。

1. 累積分布関数が広義単調増加であること

これは, x< y とすると,

F(x) = P(X\le x) \le P(X\le y) = F(y)


なので,明らかでしょう。

2. F(-∞)=0, F(∞)=1 であること

2. F(-\infty) = \lim_{x\to-\infty} F(x) =0 , \quad F(\infty)=\lim_{x\to\infty} F(x) =1.

証明

X は実数値確率変数なので,

\begin{aligned}\lim_{x\to -\infty} F(x) &= \lim_{x\to -\infty} P(X\le x)\\ &= P(X\le -\infty) = 0 \end{aligned}


であり,

\begin{aligned}\lim_{x\to \infty} F(x) &= \lim_{x\to \infty} P(X\le x)\\ &= P(X\le \infty) = 1 \end{aligned}


である。

証明終

3. 累積分布関数は右連続であること

3. F は右連続である。

証明

a< x としよう。このとき,

\begin{aligned} \lim_{x\to a+} F(x) &= \lim_{x\to a+} P(X\le x)\\&= P(X\le a) = F(a) \end{aligned}


であるから, F は右連続である。

証明終

4. 累積分布関数の不連続点が高々可算個であること

4. F の不連続点は高々可算個である。

これについては, F の単調性(性質1)から,「単調な関数の不連続点は高々可算個である」というFrodaの定理が適用できるため,従います。Frodaの定理については,以下の記事を参照してください。

5. 確率密度関数が存在するとき,累積分布関数が連続であること

5. 確率密度関数 p(x) が存在するとき, F は連続である。

これは,

F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x p(y)\, dy


と積分表示できることから,明らかですね。

6. P(a<X≤b) = F(b)-F(a), P(a≤X≤b) = F(b)-F(a-)

6. P(a<X\le b) = F(b) - F(a), \quad P(a\le X\le b ) = F(b)-F(a-) . ただし, F(a-) = \lim_{x\to a-} F(x) と定義する。

証明

前半は

\begin{aligned} F(b)-F(a)&=P(X\le b)-P(X\le a) \\&= P(a<X\le b) \end{aligned}


より。後半について, x<a とすると,

F(a-) = \lim_{x\to a-} P(X\le x)= P(X<a)


であることから,

\begin{aligned} F(b)-F(a-)&=P(X\le b)-P(X<a) \\&= P(a\le X\le b) \end{aligned}


となって従う。

証明終

なお, F(x-) = P(X<x ) となることから,この関数は左連続になります。

7. 期待値の累積分布関数による表現

7. P(X\ge 0) = 1 (すなわち F(0-)=0 )のとき, E[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\, dx\in [0,\infty].

これは,いわゆる部分積分公式と言えます。証明には,少し高度な知識が必要です。

なお,1- F が積分可能なことは, F の単調性と,「単調な関数は積分可能」であることから,大丈夫です(→ リーマン和による定積分の定義とリーマン積分可能・不可能な例)。

証明

確率 1 X \ge 0 であることと, F が広義単調増加であること(性質1)から,

\begin{aligned} \int_0^\infty (1-F(x))\, dx &= \int_0^\infty \int_x^\infty dF(y)\, dx \\ &= \int_0^\infty \int_0^x dx\, dF(y) \\ &= \int_0^\infty x \,dF(y) \\ &= E[X] .\end{aligned}


ただし, dF(y) はリーマン-スティルチェス積分である。

証明終

測度論的確率論が分かるのであれば,結局, dF(x) = P(dx) となることが分かります。

全ての性質が証明できましたね。

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