確率論における，累積分布関数（もしくは単に分布関数ともいう）は， F(x) = P(X\le x ) と定義されます。これについて，その例と性質7つを紹介します。
累積分布関数(分布関数)の定義
まずはもう一度，定義をちゃんと述べておきましょう。
定義（累積分布関数；分布関数）
X を実数値確率変数とする。このとき，
\color{red} F(x) = P(X\le x) = P(X\in (-\infty, x] )
を累積分布関数 (cumulative distribution function; CDF) または単に分布関数 (distribution function) という。
測度論的確率論では，単に「分布関数」ということの方が多いです。
もし X が連続型確率分布であり，その確率密度関数を p(x) とすると，
F(x) = P(X\in (-\infty, x] ) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dxすなわち，確率密度関数の不定積分になるわけですね。
累積分布関数(分布関数)の例
例を３つ挙げましょう。
離散一様分布の累積分布関数
P(X=k) = \frac{1}{n}\quad (k=1,2,\ldots, n )
となる離散一様分布を考えましょう。これについて，累積分布関数は，
とかけます。ただし，\lfloor x \rfloorは床関数(ガウス記号)を表します。図で描くと，以下の通りです。
離散型の確率変数の場合は，累積分布関数は不連続な関数になります。
離散一様分布の詳細については，一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ～離散型・連続型～を参照してください。
連続一様分布の累積分布関数
確率密度関数が p(x) = \begin{dcases} \frac{1}{b-a} & a\le x \le b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{dcases} となる連続一様分布を考えましょう。これについて，累積分布関数は，
F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{dcases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} &a\le x \le b, \\ 1 & b \le x \end{dcases}
となります。図で描くと，下のようになります。
連続一様分布の詳細については，一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ～離散型・連続型～を確認してください。
指数分布の累積分布関数
確率密度関数が p(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x\ge 0 , \\ 0 & x < 0 \end{cases} となる指数分布を考えましょう。これについて，累積分布関数は，
F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{cases} 0 & x< 0, \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}
となります。グラフで描くと，以下のようになります。
指数分布については，指数分布の定義と例と性質まとめで解説しています。
累積分布関数(分布関数)の性質7つ
さて，今回考える累積分布関数の性質7つを紹介しましょう。
定理（累積分布関数の性質）
F を累積分布関数とするとき，
- F は広義単調増加である。
- F(-\infty) = \lim_{x\to-\infty} F(x) =0 , \quad F(\infty)=\lim_{x\to\infty} F(x) =1.
- F は右連続である。
- F の不連続点は高々可算個である。
- 確率密度関数 p(x) が存在するとき， F は連続である。
- P(a<X\le b) = F(b) - F(a), \quad P(a\le X\le b ) = F(b)-F(a-) . ただし， F(a-) = \lim_{x\to a-} F(x) と定義する。
- P(X\ge 0) = 1 （すなわち F(0-)=0 ）のとき， E[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\, dx\in [0,\infty].
順番に考えていきましょう。
1. 累積分布関数が広義単調増加であること
これは， x< y とすると，
F(x) = P(X\le x) \le P(X\le y) = F(y)
なので，明らかでしょう。
2. F(-∞)=0, F(∞)=1 であること
2. F(-\infty) = \lim_{x\to-\infty} F(x) =0 , \quad F(\infty)=\lim_{x\to\infty} F(x) =1.
証明
X は実数値確率変数なので，
\begin{aligned}\lim_{x\to -\infty} F(x) &= \lim_{x\to -\infty} P(X\le x)\\ &= P(X\le -\infty) = 0 \end{aligned}
であり，
である。
証明終
3. 累積分布関数は右連続であること
3. F は右連続である。
証明
a< x としよう。このとき，
\begin{aligned} \lim_{x\to a+} F(x) &= \lim_{x\to a+} P(X\le x)\\&= P(X\le a) = F(a) \end{aligned}
であるから， F は右連続である。
証明終
4. 累積分布関数の不連続点が高々可算個であること
4. F の不連続点は高々可算個である。
これについては， F の単調性（性質1）から，「単調な関数の不連続点は高々可算個である」というFrodaの定理が適用できるため，従います。Frodaの定理については，以下の記事を参照してください。
5. 確率密度関数が存在するとき，累積分布関数が連続であること
5. 確率密度関数 p(x) が存在するとき， F は連続である。
これは，
F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x p(y)\, dy
と積分表示できることから，明らかですね。
6. P(a<X≤b) = F(b)-F(a), P(a≤X≤b) = F(b)-F(a-)
6. P(a<X\le b) = F(b) - F(a), \quad P(a\le X\le b ) = F(b)-F(a-) . ただし， F(a-) = \lim_{x\to a-} F(x) と定義する。
証明
前半は
\begin{aligned} F(b)-F(a)&=P(X\le b)-P(X\le a) \\&= P(a<X\le b) \end{aligned}
より。後半について， x<a とすると，
であることから，
となって従う。
証明終
なお， F(x-) = P(X<x ) となることから，この関数は左連続になります。
7. 期待値の累積分布関数による表現
7. P(X\ge 0) = 1 （すなわち F(0-)=0 ）のとき， E[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\, dx\in [0,\infty].
これは，いわゆる部分積分公式と言えます。証明には，少し高度な知識が必要です。
なお，1- F が積分可能なことは， F の単調性と，「単調な関数は積分可能」であることから，大丈夫です（→ リーマン和による定積分の定義とリーマン積分可能・不可能な例）。
証明
確率 1 で X \ge 0 であることと， F が広義単調増加であること（性質1）から，
\begin{aligned} \int_0^\infty (1-F(x))\, dx &= \int_0^\infty \int_x^\infty dF(y)\, dx \\ &= \int_0^\infty \int_0^x dx\, dF(y) \\ &= \int_0^\infty x \,dF(y) \\ &= E[X] .\end{aligned}
ただし， dF(y) はリーマン－スティルチェス積分である。
証明終
全ての性質が証明できましたね。
