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ベルヌーイ分布とは~定義と性質の導出~

確率論

ベルヌーイ分布は,ある確率 p 1 を,残りの確率 1-p 0 となるような確率分布のことです。これについて,その定義と性質を述べましょう。

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ベルヌーイ分布の定義

定義(ベルヌーイ分布)

0<p<1 とする。確率変数 Xベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) に従うとは,

\color{red} P(X=1) = p, \quad P(X=0)=1-p


となることである。

ベルヌーイ分布のイメージ図

単純な分布ですね。

もっとも基本的な例が,コイン投げでしょう。ある確率 p で表が出て,残りの確率 1-p で裏が出るようなコインを考えます。
表が出れば X=1,裏が出れば X=0 となるように,確率変数 X を定めると, X はベルヌーイ分布に従っていると言えますね。 p = 1/2 とすると,これは平等なコインなわけです。

コインの絵

なお,ベルヌーイ分布の定義は, k=0,1 でまとめて

\color{red} P(X=k) = p^k (1-p)^{1-k} \quad (k=0,1)


と書くことも可能です。

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ベルヌーイ分布の諸性質

まずは,ベルヌーイ分布の基本的な性質を列挙しましょう。

ベルヌーイ分布
確率 P(X=1)=p, \,\, P(X=0)=1-p
分布の型離散型
累積分布関数 F(x) = P(X\le x ) \begin{cases} 0& x < 0, \\ 1-p & 0 \le x < 1, \\ 1 & 1\le x \end{cases}
平均(期待値) E[X] p
分散 V(X) p(1-p)
標準偏差 \sqrt{V(X)} \sqrt{p(1-p) }
積率母関数 E[e^{tX}] 1-p+ pe^t
特性関数 E[e^{itX}] 1-p+pe^{it}

累積分布関数以降について,確認していきましょう。

ベルヌーイ分布の累積分布関数

ベルヌーイ分布の累積分布関数(分布関数)は,

F(x) = P(X\le x) = \begin{cases} 0& x < 0, \\ 1-p & 0 \le x < 1, \\ 1 & 1\le x \end{cases}


になります。グラフを描くと,以下のようになります。

ベルヌーイ分布のイメージ図

ベルヌーイ分布の平均(期待値)

ベルヌーイ分布の平均(期待値)は,

E[X] = 1\cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = p


と計算できます。

ベルヌーイ分布の分散

ベルヌーイ分布の分散は,平均が p であることから,

\begin{aligned} V(X) &= E[|X-p|^2] \\&= |1-p|^2 P(X=1) + |0-p|^2 P(X=0) \\ &= p(1-p)^2 + p^2(1-p) = p(1-p)\end{aligned}


と計算できますね。

ベルヌーイ分布の標準偏差

標準偏差は,分散のルート \sqrt{V(X)} ですから,

\sqrt{V(X)} = \sqrt{p(1-p) }


となります。

ベルヌーイ分布の積率母関数(モーメント母関数)

ベルヌーイ分布の積率母関数(モーメント母関数)については,

\begin{aligned}E[e^{tX}] &= e^t P(X=1) + e^0 P(X=0)\\ &= pe^t + 1-p \end{aligned}


なので,求められましたね。

ベルヌーイ分布の特性関数

ベルヌーイ分布の特性関数は,

\begin{aligned}E[e^{itX}] &= e^{it} P(X=1) + e^0 P(X=0)\\ &= pe^{it} + 1-p \end{aligned}


なので,得られましたね。

その他の確率分布