劣加法性を持つ関数の定義と性質

解析学(大学)その他

劣加法的関数 (subadditive function) の定義とその性質について解説します。

劣加法的関数・優加法的関数の定義

劣加法的関数

定義(劣加法的関数)

I \subset \mathbb{R} を, x,y \in I \Rightarrow x+y \in I となる集合 (cone) とする。
関数 f \colon I \to \mathbb{R}

\textcolor{red}{f(x+y) \le f(x) + f(y), \quad x,y \in I}


をみたすとき,劣加法的 (subadditive) であるという。

なお,関数の定義域は C \subset \mathbb{R}^n とすることもあります。
終域は [-\infty, \infty] とすることもあります。

優加法的関数

逆の不等式が成り立つ「優加法的関数」というのもありますから,定義しておきましょう。

定義(優加法的関数)

I \subset \mathbb{R} を, x,y \in I \Rightarrow x+y \in I となる集合 (cone) とする。
関数 f \colon I \to \mathbb{R}

\textcolor{red}{f(x+y) \ge f(x) + f(y), \quad x,y \in I}


をみたすとき,優加法的 (superadditive) であるという。

ここで, f が優加法的 \Longleftrightarrow -f が劣加法的ですから,劣加法的関数の性質のみ考えれば,優加法的関数の性質もわかると言えます。従って,以下は劣加法的関数のみ扱います。

劣加法的関数の具体例

具体例を挙げましょう。

具体例

以下の関数 f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} は劣加法的である。

  1. \textcolor{red}{f(x) = |x|^\alpha, \quad 0 < \alpha \le 1 }.
  2. \textcolor{red}{f(x) = \begin{cases} \log(x+1) & x \ge 0, \\ 0 & x < 0.\end{cases}}
  3. \textcolor{red}{f(x) = \begin{cases} 0 & x \in \mathbb{Q}, \\ 1 & x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.\end{cases}}

劣加法的関数の性質

性質を挙げます。

基本的な性質

定理(劣加法的関数の基本的な性質)

  1. f, g を劣加法的とするとき, a, b \ge 0 に対して af+bg も劣加法的である。
  2. \{f_n\} を劣加法的関数の列とし, f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x) が有限値であるとすると, f は劣加法的である。
  3. f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} を劣加法的とすると,
    1. f(0) \ge 0.
    2. f(-x) \ge -f(x).
    3. f が偶関数ならば f(x) \ge 0.
    4. f が奇関数ならば f(x+y) = f(x) + f(y),すなわち f は加法的 (additive)。

略証

1. 明らか,2. 明らか。

3-1. f(0) \le f(0)+f(0) より。
3-2. 0 \le f(0) \le f(x) + f(-x) より。
3-3. f(x) = f(-x) \ge -f(x) より。
3-4. f(x) \le f(x+y) + f(-y) = f(x+y) - f(y) を移項して, f(x) + f(y) \le f(x+y) より。

略称終

なお,これらは全て f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} として成立します。

極限挙動

以下の定理は面白いので証明したいと思います。

定理(極限挙動)

f\colon (0, \infty) \to \mathbb{R} は劣加法的で,任意の有界閉区間で有界であるとする。
このとき, \lim_{x\to\infty} f(x) / x が存在して,

\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \inf_{x>0} \frac{f(x)}{x}


となる。

なお,「任意の有界閉区間で有界」は可測関数である,または「ある有界閉区間で有界」であれば従うことが知られています。

証明

\alpha = \inf_{x>0} f(x) /x \in [-\infty, \infty) とおく。 \alpha = -\infty のときは明らかなので, \alpha > - \infty とする。このとき, \varepsilon > 0 として, f(a) / a < \alpha + \varepsilon となる a > 0 を一つとる。

n_x = \lfloor x/a \rfloor - 2 と定める(ただし, \lfloor\cdot \rfloor床関数(ガウス記号))。このとき,

\begin{aligned} f(x) &\le f(n_x a) + f(x - n_x a) \\ &\le n_x f(a) + f(x-n_x a) \\ &\le n_x f(a) + M \end{aligned}


である。ここで, M = \sup_{x \in [2a,3a]} f(x) とした。よって,

\begin{aligned} \alpha &\le \frac{f(x)}{x} \\ &\le \frac{n_x a}{x} \frac{f(a)}{a} + \frac{M}{x} \\ &\le \frac{n_x a}{x} (\alpha + \varepsilon) + \frac{M}{x} \\ &\xrightarrow{x\to\infty} \alpha + \varepsilon \end{aligned}


となるから,結論が従う。

証明終

また,逆に以下も知られています。

定理

関数 f\colon (0, \infty) \to \mathbb{R} に対し, f(x) / x が単調減少となるとき, f は劣加法的である。

証明

x, y \in (0, \infty) に対し,

\begin{aligned} f(x+y) &= x \frac{f(x+y)}{x+y} + y \frac{f(x+y)}{x+y} \\ &\le x \frac{f(x)}{x} + y \frac{f(y)}{y} \\ & = f(x) + f(y) \end{aligned}


より。

証明終

連続性

次に連続性の定理を挙げます。

定理(連続性)

f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} が劣加法的で, f(0) = 0 かつ f 0 で連続ならば, f は全体で連続である。

証明

x, \delta \in \mathbb{R}^n とする。このとき,劣加法的であることから,
\begin{gathered} f(x+\delta) - f(x) \le f(\delta), \\ f(x) - f(x+\delta) \le f(-\delta) \end{gathered}

なので,

|f(x+\delta) - f(x)| \le |f(\delta)| + |f(-\delta)|


である。右辺を \delta \to 0 とすると,結論を得る。

証明終

これ以外にもさまざまな性質がありますから,最後の参考文献等を参照してください。

補足

また,劣加法性に加えて, \textcolor{red}{f(kx) = k f(x), \, k \ge 0} が成り立つ関数を劣線形的関数 (sublinear function) といいます。この性質については以下の記事を見てください。

参考文献

  1. E. Hille, R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, 1957.
  2. M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, 2nd edition. Birkhäuser Verlag, 2009.
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