関数 f がリプシッツ連続であるとは， |f(x)-f(y)|\le K|x-y| が成り立つことを指します。
リプシッツ連続について，その定義と例，一様連続など他の連続性との関係，微分と関連する性質について述べましょう。
リプシッツ連続と他の連続性との関係
リプシッツ連続の定義と，他の連続性との関係を見ていきましょう。
リプシッツ連続の定義
定義（リプシッツ連続）
関数 f\colon \R\to\R が，ある K>0 が存在して，
\large \color{red}|f(x)-f(y)|\le K|x-y|,\quad x,y\in \R
をみたすとき，リプシッツ連続 (Lipschitz continuous) であるという。より一般に，距離空間 X,Y において，関数 f\colon X\to Y が
をみたすとき，リプシッツ連続 (Lipschitz continuous) であるという。
x\ne y のとき，一つ目の赤字の式は，
\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le K
とかいても同じですね。平均変化率が有界だということです。図にすると以下のように，グラフ上の任意の点 (x,f(x)) から傾き \pm K の直線を引いたときに，グラフは常にその直線の間の部分に入る，ということを意味します。
なお，リプシッツ連続の定義において K<1 のとき， f を縮小写像 (contraction mapping) といいます。縮小写像には，バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)が有名です。バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明で解説しています。
リプシッツ連続は，微分方程式の解の初期値問題で，解の一意性を保証するのに出てくる条件（リプシッツ条件といいます）でもあります。
他の連続性との関係
関数には，リプシッツ連続以外に様々な連続性の概念があります。それをまとめておきましょう。
| 用語 | 数式 |
|---|---|
| リプシッツ連続 | |f(x)-f(y)|\le K|x-y| |
| \alpha-ヘルダー連続 | |f(x)-f(y)|\le K|x-y|^\alpha |
| 絶対連続 | \displaystyle \sum_{k=1}^n|x_{k}-y_{k}|<\delta \implies \sum_{k=1}^n |f(x_k)-f(y_{k})|<\varepsilon |
| 一様連続 | |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon |
| 有界変動 | \displaystyle \sup_{P\in\mathcal{P}}\sum_{k=1}^n |f(x_{k})-f(x_{k-1})|<\infty |
一般に，関数 f\colon \textcolor{red}{\boldsymbol{[a,b]}}\to \R について，以下のような包含関係が成立します。
リプシッツ連続関数は絶対連続ですから，特に，リプシッツ連続関数はほとんどいたるところ微分可能です。
リプシッツ連続関数の例・そうでない例
例1.
f(x)=|x| ,\; (x\in\R) はリプシッツ連続である。
|f(x)-f(y)|=\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y| なので明らかですね。
例2.
f(x)=\sin x はリプシッツ連続である。
|\sin x- \sin y|\le |x-y| なので明らかですね。
例3.
f(x)=x^2 \; (-1\le x\le 1) はリプシッツ連続だが， f(x)=x^2\; (x\in \R) はリプシッツ連続でない。一様連続でもない。
任意の x,y\in [-1,1] に対して |x^2-y^2|\le 2|x-y| なので，定義域を [-1,1] とすればリプシッツ連続ですが，
\frac{(x+1)^2-x^2}{(x+1)-x} \xrightarrow{x\to\infty}\infty
のため， |(x+1)^2-x^2|\le K|(x+1)-x| となる x \in\R によらない定数 K は存在しません。よって，定義域を \R とした場合はリプシッツ連続ではありません。
例4.
f(x)=\sqrt{x}\; (x\ge 0) は一様連続・絶対連続だが，リプシッツ連続ではない。
リプシッツ連続でないことは，
\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|= \frac{1}{\sqrt{x}}\xrightarrow{x\to 0+} \infty
よりよいです。一方で，\varepsilon >0 に対し，互いに素な区間列 \{ (x_k, y_k)\} が \sum_{k=1}^n |y_k-x_k|<\varepsilon^2 をみたすとすると，
となるため，絶対連続ですね。
なお，一様連続だが絶対連続でない例は絶対連続な関数とは～定義と例と性質4つ～で解説しています。
リプシッツ連続関数の性質
証明
\implies は，リプシッツ連続の定義から，
\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le K
で，両辺 y\to x とすることで |f'(x)|\le K となるからよい。
\impliedby は，平均値の定理より， x<y に対し，ある x<c<y が存在して，
\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| =|f'(c)|\le K
となるからよい。
証明終
定理2は定理1と似ていますが，少し違います。
定理2（リプシッツ連続関数と絶対連続）
I\subset \R とし， f \colon I\to\R は絶対連続であるとする(したがってほとんどいたるところ微分可能である)。このとき，
f がリプシッツ連続\iff f' が有界
である。
ここで f' が有界とは， |f'(x)|\le K, \,\text{a.e.\, }x\in\R ということです。
証明
\implies の証明は定理1.と全く同じである。
\impliedby について， f は絶対連続のため，ほとんどいたるところ微分可能で， x,y\in \R に対し，
\begin{align}f(x)-f(y)=\int_y^x f'(t)\, dt \end{align}
が成り立つ(→絶対連続な関数とは～定義と例と性質4つ～)。ここで， |f'|\le K より，
となって示せた。
証明終
定理2の \impliedby の証明では，平均値の定理は使えないし，逆に定理1の \impliedby の証明では，上式 (1) は使えません。
