測度論におけるシュタインハウスの定理とその証明

測度論

\R^N における可測集合は,それ自身はなかなか実態がよくわからないものかもしれません。しかし,零集合でない可測集合を2つ用意して, A+B=\{a+b\mid a\in A,\, b\in B\} を考えると,これは開集合を含むようになります。

シュタインハウスの定理といわれる本定理を紹介し,証明しましょう。

測度論におけるシュタインハウスの定理

シュタインハウスの定理 (Steinhaus theorem)

\mu \R^N 上のルベーグ測度とし,可測集合 A,B\subset \R^N \mu(A),\mu(B)>0 をみたすとする。

A+B=\{a+b\mid a\in A,\, b\in B\}


と定めると, \color{red}\boldsymbol{\operatorname{int}(A+B)\ne \emptyset} である。ただし, \operatorname{int} は集合の内部(開核; interior)を指す。

特に, N=1 とすると,次の主張になります。

シュタインハウスの定理 1次元版

\mu \R 上のルベーグ測度とし,可測集合 A,B\subset \R \mu(A),\mu(B)>0 をみたすとする。

A+B=\{a+b\mid a\in A,\, b\in B\}


と定めると, A+B は区間を含む。すなわち,[s,t] \subset A+B となる s,t\in\R が存在する。

ルベーグ測度が正になるような集合が2つあれば, A+B と組み合わせることで,集合の内部が空集合にならないようにできる,と言っています。なお,基本的な話ですが, \mu(A)>0 であっても, \operatorname{int}(A)=\emptyset となることはあり得ることに注意しましょう。今回の定理は,あくまで集合 A,B A+B のように組み合わせていることが大切です。

たとえば, A=\R\setminus \mathbb{Q} とすると, \mu(A)=\infty>0 ですが, \operatorname{int}(A)=\emptyset ですね。

一方, A+A = \R\setminus \mathbb{Q}+\R\setminus \mathbb{Q} = \R となり,区間を含みます。
実際, r\in R が無理数なら, r/2+r/2\in \R\setminus \mathbb{Q}+\R\setminus \mathbb{Q} ですし, q\in\mathbb{Q} なら, q=(q/2+\sqrt{2})+(q/2-\sqrt{2})\in \R\setminus \mathbb{Q}+\R\setminus \mathbb{Q} ですね。

シュタインハウスの定理の準備

シュタインハウスの定理そのものの証明の前に,一つ証明の準備をしましょう。

補題(対称差と測度)

(X,\mathcal{F},\mu)測度空間とし, A,B,C\in\mathcal{F} \mu(A)<\infty とする。このとき,

\color{red}|\mu(A\cap B)-\mu(A\cap C)|\le \mu(B\triangle C)


が成り立つ。ただし, B\triangle C = (B\setminus C)\cup (C\setminus B) は集合 B,C の対称差を表す。

証明しましょう。

証明

\begin{aligned}&\mu(A\cap B)-\mu(A\cap C)\\ &=\{\mu(A\cap B\cap C)+\mu(A\cap B\cap C^c)\} \\ &\quad -\{ \mu(A\cap B\cap C)+\mu(A\cap B^c\cap C) \} \\ &=\mu(A\cap B\cap C^c) -\mu(A\cap B^c \cap C). \end{aligned}


同様に,

\begin{aligned} &\mu(A\cap C)-\mu(A\cap B) \\ &=\mu(A\cap B^c\cap C) -\mu(A\cap B \cap C^c) \end{aligned}


であるから,

\begin{aligned} &|\mu(A\cap B)-\mu(A\cap C)| \\ &\le \mu(A\cap B\cap C^c) +\mu(A\cap B^c \cap C) \\ &\le \mu(B\cap C^c)+\mu(B^c\cap C) \\ &= \mu(B\triangle C) \end{aligned}


となって,結論を得る。

証明終

シュタインハウスの定理の証明

この定理の証明は様々なやり方が知られているようですが,ここでは,[1] の Theorem 3.7.1 で示します。

証明

ルベーグ測度の内部正則性より, A_0\subset A,\, B_0\subset B をコンパクト集合として,\mu(A_0)>0,\, \mu(B_0)>0 とできる(このとき, \operatorname{int} (A_0) \ne \emptyset, \operatorname{int}(B_0)\ne\emptyset のいずれかが成り立つなら証明は一瞬である)。

よって特に, A,B はコンパクト集合とし, \mu(A)>0,\,\mu(B)>0 と思ってよい。

t\in \R^N に対し, B_t=t-B=\{t-b\mid b\in B\} とおく。関数 \omega\colon \R^N\to \R

\omega(t)=\mu(A\cap B_t) = \int_{\R^N} 1_A(x)1_{B_t}(x)\, dx


と定める。ただし, 1定義関数(特性関数,指示関数)を表す。 \omega が連続関数であることを示そう。

\varepsilon >0 とする。ルベーグ測度の外部正則性より, B_t\subset G_t となる開集合 G_t で, \mu(G_t\setminus B_t)<\varepsilon となるものが存在する。 B_t\subset G_t より, B_t\cap G_t^c=\emptyset であり, B_t, G_t^c はどちらも閉集合であるから,その距離 \delta>0 が取れる。

\| h\|<\delta となる h\in \R^N をとる。ただし, \|h\| はユークリッド距離(ノルム)を指す。このとき, B_{t+h}\subset G_t であり,

\begin{equation} \mu(B_{t+h}\setminus B_t)\le \mu(G_t\setminus B_t)< \varepsilon \end{equation}


となる。一方で, B_{t+h} = B_t+h であるから,ルベーグ測度の平行移動不変性より,\mu(B_{t+h})=\mu(B_t) である。ゆえに,

\begin{align}\mu(B_t\setminus B_{t+h}) &\le\mu( G_t\setminus B_{t+h} ) \\ &= \mu(G_t)-\mu(B_{t+h}) \\ &= \mu(G_t)-\mu(B_t) \\ &= \mu(G_t\setminus B_t) <\varepsilon. \end{align}


\text{(1)--(5)} 式より, \|h\|<\delta に対し,

\begin{aligned}\mu(B_{t+h}\triangle B_t)& = \mu(B_{t+h}\setminus B_t)+\mu(B_t\setminus B_{t+h} ) \\&<\varepsilon \end{aligned}


となる。これと,上の補題(準備)より,

\begin{aligned}\!\!\!\!|\omega(t+h)-\omega(t)|&= |\mu(A\cap B_{t+h})-\mu(A\cap B_t)| \\ &\le \mu(B_{t+h}\triangle B_t) <\varepsilon \end{aligned}


となるから, \omega が連続であることが示せた。次に,\omega (t)>0 となる t\in \R^N の存在を示そう。\omega の定義より, \omega\ge 0 である。

\begin{aligned}\!\!\!\!\! \int_{\R^N} \omega(t)\, dt &= \int_{\R^N} \int_{\R^N} 1_A(x)1_{B_t}(x)\, dxdt\\ &= \int_{\R^N } 1_A(x)\left(\int_{\R^N } 1_{B_t}(x)\, dt\right)dx\\ &= \int_{\R^N } 1_A(x)\left(\int_{\R^N } 1_{B}(t-x)\, dt\right)\!\!dx\\ &= \int_{\R^N } 1_A(x)\left(\int_{\R^N } 1_{B}(u)\, du\right)dx\\ &= \int_{\R^N } 1_A(x)\, dx \int_{\R^N } 1_{B}(u)\, du\\ &= \mu(A)\mu(B)>0 \end{aligned}


であるから, \omega(t) >0 となる t\in \R^N の存在が分かった。

最後に定理の結論を示そう。\omega(t_0)>0 となる t_0\in \R^N をとる。 \omega は連続関数より,開近傍 t_0\in U で, U \omega>0 となるものが存在する。すなわち, t\in U なら \mu(A\cap B_t)>0 である。

特に, A\cap B_t\ne \emptyset であり,任意の t\in U に対して,ある a\in A\cap B_t = A\cap (t-B) となるものが存在する。 a\in t-B より,ある b\in B を用いて, a=t-b とかける。

t=a+b \in A+B t\in U で成立するので, U\subset A+B である。したがって, \operatorname{int}(A+B)\ne \emptyset となる。

証明終

少し長いと感じたかもしれませんが,無事に証明できましたね。

参考

  1. M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, 2nd edition. Birkhäuser Verlag, 2009.
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