ガンマ関数とは~定義と性質をわかりやすく~

微分積分学(大学)複素関数論

階乗の一般化であり,解析学でよく使われるガンマ関数は, \operatorname{Re} z>0 に対し, \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\, dt と定義される関数です。これについて,その定義と性質を詳しく述べましょう。

ガンマ関数の定義

今回はガンマ関数を,複素数 \operatorname{Re}z>0 で定義しますが,複素関数が分からない場合は,単に z>0(正の実数)と思えばよいです。

定義(ガンマ関数)

\operatorname{Re} z>0 に対し,

\large \color{red} \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\, dt


ガンマ関数 (gamma function) という。

ガンマ関数の積分が収束していることについて考えましょう。 |t^z| = |e^{z\log t}| = e^{\operatorname{Re}( z) \log t} = t^{\operatorname{Re} z} に注意すると,

\begin{aligned}&\int_0^\infty |t^{z-1}e^{-t}| \, dt= \int_0^\infty t^{\operatorname{Re} (z) -1} e^{-t} \, dt \\ &\le \int_0^1 t^{\operatorname{Re} (z) -1}\, dt + \int_1^\infty t^n e^{-t}\, dt \end{aligned}


ただし, n \ge \operatorname{Re} z - 1 であり, \operatorname{Re}z > 0 より右辺の2つの広義積分は収束するため,

\left| \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\, dt\right|\le \int_0^\infty |t^{z-1}e^{-t}| \, dt < \infty


となって,ガンマ関数の積分がちゃんと収束していることがわかりますね。

ガンマ関数を,実数の範囲に限った \Gamma(x)\; (x>0)グラフを描くと,以下のようになります。

ガンマ関数Γ(x) (x>0) のグラフ

ガンマ関数の性質

ガンマ関数の性質について述べましょう。

ガンマ関数は階乗の一般化である

定理(ガンマ関数と階乗)

\operatorname{Re} z>0 とすると, \color{red} \Gamma(z+1) =z\Gamma(z) である。

また, \Gamma(1) = 1 であるから,正の整数 n \ge 1 に対し, \color{red} \Gamma(n) = (n-1)! である。

証明は,複素関数論が分からなくても理解できると思います。確認していきましょう。

証明

部分積分により,

\begin{aligned} \Gamma(z+1) &=\int_0^\infty t^z (-e^{-t})' \, dt \\ &= \left[ -t^z e^{-t}\right]_0^\infty + z \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt \\ &= z\Gamma(z) \end{aligned}


より,前半は示せた。また,

\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\, dt = \left[ -e^{-t}\right]_0^\infty = 1


であり,このことから, n \ge 1 を正の整数として,

\begin{aligned}\Gamma(n) &= (n-1)\Gamma(n-1)\\ &= (n-1)(n-2)\Gamma(n-2) \\ &= \cdots = (n-1)!\Gamma(1) = (n-1)! \end{aligned}


を得る。

証明終

なお, \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) から,\color{red} \Gamma(z) = \dfrac{\Gamma(z+1)}{z} ですが,これを -1< \operatorname{Re} z \le 0,\; z\ne 0 に適用することで, \Gamma(z) \operatorname{Re} >-1, \;z\ne 0 の範囲に拡張(解析接続)することが可能です。

同様に,何度も \Gamma(z) = \dfrac{\Gamma(z+1)}{z} を適用することで,結局, \Gamma(z) z\ne 0,-1,-2,-3,\ldots をみたす全ての複素数に拡張(解析接続)できます。

拡張したときの \Gamma(x)\;(x \in \mathbb{R}\setminus\{ 0,-1,-2,-3,\ldots\}) のグラフは以下のようになります。

ガンマ関数 Γ(x) (x≠ 0,-1,-2,...) のグラフ

Γ(1/2)の値

定理( \Gamma(1/2) の値)

\color{red} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

である。

\Gamma(1/2) の計算はガウス積分に帰着されます。証明を紹介しましょう。

証明

u = t^{1/2} とおいて置換積分すると,

\begin{aligned}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t}\, dt \\ &= \int_0^\infty u^{-1} e^{-u^2}\, 2udu \\ &= 2\int_0^\infty e^{-u^2} \, du \\ &= \sqrt{\pi} \end{aligned}


ただし,最後の等式はガウス積分の公式を用いた。

証明終

なお,この定理と \Gamma(z+1) =z\Gamma(z) から, \Gamma(1/2+n) \; (n\in \mathbb{Z} ) は求まることになります。たとえば,

\begin{aligned} \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) &= -2\sqrt{\pi}, \\ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{aligned}


となります。

ガンマ関数は正則(解析的)である

ガンマ関数が \operatorname{Re} z>0 上正則関数であることを示しましょう。ここからは,解析学の知識が必要です。

定理(ガンマ関数の正則性)

\Gamma(z) \operatorname{Re} z > 0 上正則である。

じゃっかん略証気味ですが,いきましょう。

証明

\alpha = \operatorname{Re} z> 0 とし, h \in \mathbb{C} |h| < \alpha / 2 とする。このとき, e^{\alpha/2}\le |e^{z+h}|\le e^{3\alpha/2} に注意する。

\frac{\Gamma(z+h)-\Gamma(z)}{h} = \int_0^\infty \frac{t^{z+h-1}-t^{z-1}}{h}e^{-t}\, dt.


ここで,積分の中身について,

\begin{aligned}&\left| \frac{t^{z+h-1}-t^{z-1}}{h}e^{-t} \right| \\ &= \left|\frac{1}{h}\left[e^{u\log t}\right]_{u=z-1}^{z+h-1} e^{-t} \right|\\ &= \left|\frac{1}{h} \int_{z-1}^{z+h-1} e^{u\log t} \log t\, du \, e^{-t}\right| \\ &\le \frac{|h|}{|h|} \max\{ e^{(\alpha/2 -1)\log t}, e^{(3\alpha/2-1)\log t}\} |\log t| e^{-t} \\ &= |\log t| \max\{t^{\alpha/2-1}, t^{3\alpha/2-1}\} e^{-t} \end{aligned}


であり,最後の積分は (0,\infty) 上可積分であるから,ルベーグの優収束定理より, h\to 0 とすることで, \Gamma(z) は可微分である。よって, \Gamma(z) \operatorname{Re} z>0 上正則である。

証明終

なお実際は,ガンマ関数は,前述した方法で非正の整数 0,-1,-2,\ldots 1 位の零点を持つ \mathbb{C} 上の有理型関数に解析接続できます。

その他の性質

証明はしませんが,他の性質をいくつか挙げておきましょう。

定理(ガンマ関数のその他の性質)

  1. \displaystyle \Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}},\;\; z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.
  2. \displaystyle \Gamma(z)\Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin \pi z}, \; \;z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}. (相反公式; Euler’s reflection furmula)

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