大学専門

群・環・体

体の定義と具体例4つ

数学,とくに代数学における体 (field) とは,四則演算が定義された集合のことを言います。一般に,代数学においては,群はかけ算・わり算が定義された集合,環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合,体は足し算・引き算・かけ算・わり算(四則演算)が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に,体の定義と具体例を述べましょう。
測度論

本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か

測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは,零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について,ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。
関数解析学

ミンコフスキーの不等式とその証明

ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは,L^pノルムに関する三角不等式のことをいいます。ミンコフスキーの不等式について,その証明を行いましょう。
関数解析学

ヘルダーの不等式とその証明

ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)とは,関数解析学における基本的な不等式であり,コーシーシュワルツの不等式の一般化にもなっています。ヘルダーの不等式について,その主張と証明を分かりやすく紹介します。
群・環・体

素元と既約元について~倍元・約元・同伴~

可換環,特に整域における素元 (prime element) と既約元 (irreducible element) の概念について,その定義・具体例・性質を解説しましょう。関連する概念として,倍元・約元・同伴の定義も紹介します。
群・環・体

素イデアルと極大イデアルの定義・具体例・性質

可換環論における,素イデアルとは整数における素数の概念を拡張したものであり,極大イデアルとは,真のイデアルのうち,包含関係に関して極大なものを指します。素イデアル・極大イデアルについて,その定義・具体例・性質を解説しましょう。
群・環・体

剰余環(商環)とは~定義と具体例~

剰余環 (factor ring),あるいは商環(quotient ring)とは,両側イデアルによる同値類で割った商集合に入る環構造を指します。剰余環を調べることは,環論において最も基本的なことの一つです。剰余環について,定義がwell-definedであることと,具体例を挙げましょう。
群・環・体

乗法群(単元群)とは~定義と具体例6つ~

乗法群 (multiplicative group),あるいは単元群 (group of units) とは,環や体のうち,乗法逆元の存在する元たちのなす群のことを指します。乗法群について,その定義と具体例を紹介しましょう。
群・環・体

イデアル(環論)とは~定義・具体例・基本的性質の証明~

代数学,特に環論における左イデアル・右イデアル・両側イデアルとは,それぞれ左・右・両側から元をかけても不変な,乗法単位元を持たなくても良い部分環のことを言います。群でいう正規部分群に対応する,環論における重要な概念です。イデアルについて,その定義と具体例・性質について順番に解説していきましょう。
群・環・体

整域とは~定義・具体例4つ・基本的性質4つ~

整域とは,零因子が0しかない可換環のことをいいます。すなわち,ab=0ならば,a=0またはb=0です。整域について,その定義と具体例・そして基本的性質4つの証明を行いましょう。なお,本記事では一貫して,環は乗法単位元を持ち,零環(自明な環)でないとします。
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