符号付き測度・複素測度の定義と分解定理

符号付き測度・複素測度とは，それぞれ $\mu\colon \mathcal{F}\to \R$ や $\mu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{C}$ のように，負の値や複素数値を許すような測度のことです。

符号付き測度・複素測度について，その定義と例，分解定理を解説しましょう。

符号付き測度・複素測度の定義と例
1. 符号付き測度・複素測度の定義
2. 符号付き測度・複素測度の例
ハーンの分解定理
ジョルダンの分解定理
関連する記事

符号付き測度・複素測度の定義と例

符号付き測度・複素測度の定義

まず，測度の定義を復習しておきましょう。以下について詳しくは測度の定義と具体例4つ・性質5つを証明付きで徹底解説で解説しています。

測度の定義

$(X,\mathcal{F})$ を可測空間とする。関数 $\mu \colon \mathcal{F}\to \textcolor{red}{[0,\infty]}$ が $(X,\mathcal{F})$ 上の測度 (measure) であるとは，

$\mu(\emptyset) = 0$
$\{A_n\}\subset\mathcal{F}$ をどの2つも互いに素とするとき， $\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu (A_n)$ (可算加法性)

の両方が成立することを言う。

$\mu \colon \mathcal{F}\to \boldsymbol{\textcolor{red}{[0,\infty]}}$ の赤字の部分を変えたものが符号付き測度・複素測度です。

定義（符号付き測度・複素測度）

上の測度の定義において，

$\mu\colon \mathcal{F}\to \boldsymbol{\textcolor{red}{\R}}$ に変えたものを符号付き測度 (signed measure)，
$\mu\colon \mathcal{F}\to \boldsymbol{\textcolor{red}{\mathbb{C}}}$ に変えたものを複素測度 (complex measure)

という。

符号付き測度・複素測度においては，等式 $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu (A_n)$ が well-defined かという問題があります。どの二つも互いに素な任意の集合 $\{A_n\}\subset \mathcal{F}$ について，無限和 $\sum_{n=1}^\infty \mu (A_n)$ は絶対収束してなければなりません。

もし絶対収束ではなく，条件収束だったとすると，条件収束級数は和の順序交換により任意の値に収束できることの証明により，集合列 $\{A_n\}$ の並び替えにより，和が変わってしまいますから，一つの値 $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)$ に収束することはあり得なくなってしまいます。後で紹介するハーンの分解定理から，このことが成り立つためには，

-\infty<\inf_{A\in\mathcal{F}}\mu(A)\le\sup_{A\in\mathcal{F}}\mu(A)<\infty

でなくてはならないことが分かります。

なお，符号付き測度については， $\mu\colon \mathcal{F}\to [-\infty, \infty]$ のように， $\pm\infty$ 値を許すことも多いです。ただし， $\infty-\infty$ は定義できないため， $\mu(A)=\infty,\, \mu(B)=-\infty$ となる $A,B\in\mathcal{F}$ は同時に存在してはなりません。すなわち， $-\infty$ か $\infty$ の少なくとも一方は $\mu$ の値域ではありません。

符号付き測度・複素測度の例

例1.

$X= \{-10,-9,-8,\dots, -1,0,1,\dots 10\}$ とする。可測空間 $(X, 2^X)$ について， $\mu(A)$ を， $A$ のうち正の数の個数から負の数の個数を引いたものと定義すると， $\mu$ は符号付き測度である。

数え上げ測度の符号付き測度バージョンといったところでしょうか。

例2.

$(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし， $\nu_1 \nu_2,\nu_3,\nu_4$ をその上の有限測度とする。このとき，

\mu=\nu_1-\nu_2

は符号付き測度である。また，

\mu=(\nu_1-\nu_2)+i(\nu_3-\nu_4)

は複素測度である。

逆に，全ての符号付き測度や複素測度は上の形に分解することができます。「ジョルダンの分解定理」として，あとで紹介します。

例3.

$(X,\mathcal{F},\nu)$ を測度空間， $f\colon X\to \R (\mathbb{C})$ を可積分関数とする。このとき， $A\in\mathcal{F}$ に対し，

\mu(A)=\int_A f(x)\, d\nu(x)

で定義される $\mu\colon \mathcal{F}\to \R(\mathbb{C})$ は符号付き測度(複素測度)である。

逆に， $\mu,\nu$ がσ有限測度であり，かつ $\mu$ が $\nu$ に関して絶対連続ならば，上のような等式を成り立たせる $f$ が存在することが知られています。これをラドンニコディムの定理 (Radon–Nikodym theorem) といいます。以下で紹介しています。

ハーンの分解定理

ハーンの分解定理 (Hahn decomposition theorem)

$(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし， $\mu\colon X\to \R$ を符号付き測度とする。このとき，以下をみたす $X_+,X_-\in \mathcal{F}$ が存在する。

$X_+\cap X_- =\emptyset$
$X_+\cup X_- =X$
$\mu(A\cap X_+)\ge 0,\; \mu(A\cap X_-)\le 0,\quad A\in\mathcal{F}$

また，このような $X_+,X_-$ は零集合の差を除いて一意的である。

ここで， $N\in\mathcal{F}$ が零集合 (null set) とは，任意の $A\in \mathcal{F}$ に対し， $\mu(N\cap A)=0$ が成り立つこととします。単に $\mu (N)=0$ としてしまうと，符号付き測度の場合はまずいです。集合 $A,A'$ が零集合の差を除いて一意的とは，対称差 $A\bigtriangleup A'=(A\setminus A')\cup (A'\setminus A)$ について， $\mu(A\bigtriangleup A')=0$ が成り立つことを指します。

証明

$\alpha_+ =\sup_{A\in\mathcal{F}} \mu(A) \in [0,\infty]$ と定める。supの定義より，ある $\{A_n\}\subset \mathcal{F}$ が存在して， $\mu(A_n)\ge 0$ かつ $\lim_{n\to\infty} \mu(A_n)=\alpha_+$ とできる。

$X_+=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ とすると， $X_+\in \mathcal{F}$ であり，任意の $n$ で $A_n \subset X_+$ なので $\mu(A_n)\le \mu(X_+)$ である。 $n\to\infty$ とsupの定義より， $\mu(X_+)=\alpha_+$ となる。 $\mu\colon \mathcal{F}\to \R$ より特に $0<\alpha_+<\infty$ となる。さらに， $X_-=X\setminus X_+$ とする。このとき， $X_+, X_-$ は明らかに定理の項目1,2.をみたす。3.をみたすことを示そう。

ある $A\in \mathcal{F}$ に対し， $\mu(A\cap X_+)<0$ と仮定すると， $\mu(X_+\setminus A) = \mu(X_+)-\mu(A\cap X_+) >\mu(X_+)$ となってsupの定義に矛盾している。また， $\mu(A\cap X_-)>0$ と仮定すると， $\mu(X_+\cup (A\cap X_-)) = \mu(X_+)+\mu(A\cap X_-) >\mu(X_+)$ となって，やはりsupの定義に矛盾している。よって3.もみたす。

また，明らかに $X_+$ は零集合の差を除いて一意的でなければならない。一意でなかったとすると，2つある $X_+, X_+'$ に対し， $\mu(X_+\cup X_+')>\alpha_+$ となってしまうからである。したがって， $X_-$ も零集合の差を除いて一意的である。

証明終

上の証明は， $\mu\colon\mathcal{F}\to [-\infty, \infty)$ でも通用します。 $\mu \colon \mathcal{F}\to (-\infty, \infty]$ のときは， $-\mu$ で上の証明を考えることで，同様です。