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単調関数はほとんどいたるところ微分可能である証明

測度論

単調増加または単調減少関数,より一般に有界変動関数は,ほとんどいたるところ微分可能であることが知られています。

これについて,ラドンニコディムの定理ルベーグの微分定理を用いた証明を紹介しましょう。

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単調関数はほとんどいたるところ微分可能

定理1(単調関数におけるルベーグの定理)

f\colon [a,b]\to \R は広義単調増加とする。このとき, fほとんどいたるところ微分可能である。

単調関数でなくとも,2つの単調増加関数 f_1,f_2 の差でかける関数 f(x)=f_1(x)-f_2(x) も,ほとんどいたるところ微分可能です。このようにかける関数 f有界変動関数 (bounded variation function) といいます(→有界変動関数の定義と例といくつかの大事な性質)。

そもそも単調関数は連続なのか,と思ったかもしれません。単調関数は連続ではありませんが,高々可算個の点を除いて連続であることが知られています。これの証明は,以下で行っています。

証明には,以下の知識を用いることにします。

証明

f は広義単調増加であるから, \widetilde{f}(x)=\lim_{y \uparrow x}f(y) は存在して,\widetilde{f} は左連続である。ゆえに,

\nu([a,x))=\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(a)


によって測度 \nu が定まる。測度に関するルベーグ分解より,

\nu=\nu_c +\nu_s


であって, \nu_c はルベーグ測度 m に関して絶対連続( \nu_c\ll m)であり, \nu_s はルベーグ測度 m に関して特異( \nu_s\perp m)であるものが存在する。

g=d\nu_c/dmラドンニコディム微分とすると,ルベーグの微分定理における測度の微分の項目より,

\begin{aligned} &\frac{\nu([x, x+h))}{m([x, x+h))} \\ & =\frac{\nu_c([x, x+h))}{m([x, x+h))}+\frac{\nu_s([x, x+h))}{m([x, x+h))} \\ &\xrightarrow{h\downarrow 0} g(x)+0,\quad m\text{-a.e.} \end{aligned}


が成り立つ。 m([x,x+h))=h \nu の定義より,

\lim_{h\downarrow 0}\frac{\widetilde{f}(x+h)-\widetilde{f}(x)}{h} = g(x), \quad m\text{-a.e. }


となる。Frodaの定理より,不連続点は高々可算個であるから, f(x)=\widetilde{f}(x),\, m\text{-a.e. }\, x \in [a,b] である。このような x \in [a,b] について,

\lim_{h\downarrow 0}\frac{\widetilde{f}(x+h)-{f}(x)}{h} = g(x), \quad m\text{-a.e. }


である。ここで, \delta >1 とする。 f は広義単調増加なので, h>0 に対し, \widetilde{f}(x+h)\le f(x+h)\le \widetilde{f}(x+\delta h) である。したがって,

\begin{aligned}&\lim_{h\downarrow 0}\frac{\widetilde{f}(x+h)-{f}(x)}{h} \\ &\le \liminf_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} \\ &\le \limsup_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} \\ &\le \lim_{h\downarrow 0}\frac{\widetilde{f}(x+\delta h)-{f}(x)}{h}.\end{aligned}


すなわち,

\begin{aligned} g(x)&\le \liminf_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} \\ &\le \limsup_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} \\ &\le \delta g(x) \end{aligned}


である。 \delta\downarrow 1 とすることで,

\lim_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} =g(x), \quad m\text{-a.e. }


がわかる。全く同様に,

\lim_{h\uparrow 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} =g(x), \quad m\text{-a.e. }


も証明できるため,証明が終わる。

証明終

証明中の g f' と書かれるのが普通です。ここで注意ですが,一般に

f(y)-f(x)=\int_x^y f'(t)\, dt,\quad a\le x<y<\le b


成立しません。たとえば, f(x)=\begin{cases}x^2\sin (1/x^2) & x\ne 0, \\ 0 & x=0 \end{cases} について, f は任意の点で微分可能ですが, \int_0^1 |f'(t)|\, dt=\infty となってしまいます。

他にも, fカントール関数とすると, f(0)=0,\, f(1)=1 で広義単調増加のため, [0,1]ほとんどいたるところ微分可能ですが, f'(x)=0,\, \text{a.e.} となり,

f(1)-f(0) \ne \int_0^1 f'(t)\, dt


となっています。また,より簡単に f(x)=\begin{cases} 0 & 0\le x\le 1/2,\\ 1& 1/2<x\le 1\end{cases} でも f'(x)=0,\, \text{a.e.} となって同様です。

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絶対連続関数の微分

さて,一般には

f(y)-f(x)\ne \int_x^y f'(t)\, dt


であると述べました。 f が絶対連続関数と呼ばれる関数のとき,等号が成立することが知られています。まずは,絶対連続関数が何か述べましょう。

絶対連続関数

f\colon [a,b]\to \R絶対連続関数 (absolutely continuous function) であるとは,任意の \varepsilon >0 に対して,ある \delta>0 が存在して,任意の n \ge 1 と任意の互いに素な区間列 \{ (x_k, y_k)\}_{k=1}^n に対し,

\sum_{k=1}^n|y_k-x_k|<\delta \implies \sum_{k=1}^n|f(y_k)-f(x_k)|<\varepsilon


が成り立つことを言う。

f が絶対連続関数であり, E\subset \R零集合であるとき, f(E)零集合になることが知られている。

詳しくは絶対連続な関数とは~定義と例と性質4つ~で解説しています。

絶対連続関数は有界変動関数の一種であり,ほとんどいたるところ微分可能です。さらに一般には成り立たない

f(y)-f(x)=\int_x^y f'(t)\, dt


が成立します。

定理2

f\colon [a,b]\to \R を絶対連続関数とする。このとき, fほとんどいたるところ微分可能であり,その微分を f' とすると,

\color{red}f(y)-f(x)=\int_x^y f'(t)\, dt,\quad a\le x<y\le b


が成立する。

証明しましょう。

証明

f は広義単調増加であるとして示せばよい。 f は絶対連続なので連続である。

\nu([a,x))=f(x)-f(a)


によって測度 \nu が定まる。 f は零集合を零集合に移すから, \nu はルベーグ測度 m と絶対連続( \nu\ll m)である。

f'=d\nu/dmラドンニコディム微分とすると,定理1の証明と同様に,

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-{f}(x)}{h} =f'(x), \quad m\text{-a.e. }


である。また,ラドンニコディム微分の定義より, a\le x<y\le b に対し,

\nu([x,y))= \int_{[x,y)} f'(t)\, dt.


すなわち,

f(y)-f(x)= \int_x^y f'(t)\, dt.

証明終

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