整域とは~定義・具体例4つ・基本的性質4つ~

群・環・体

整域とは,零因子が 0 しかない可換環のことをいいます。すなわち, ab=0 ならば, a=0 または b=0 が成り立ちます。

整域について,その定義と具体例・そして基本的性質4つの証明を行いましょう。

なお,本記事では一貫して,は乗法単位元を持ち,零環(自明な環)でないとします。

整域とは

整域は,可換環に対して定義するのが普通です。

定義(整域)

可換環 R整域 (integral domain; entire ring) であるとは, a,b\in R に対し

\color{red}\large ab=0 \implies a=0 \text{ or } b=0


が成り立つことをいう。

a\in R に対し,ある b\in R があって ab=0 とできるとき, a零因子 (zero divisor) といいます。整域とは,零因子が 0 しかない環のことを指します。定義は対偶を取って,

\Large a,b \ne 0\implies ab\ne 0


と思っても構いません。

とにかくスグに具体例を確認してきましょう。

整域とそうでない例

例1.

可換環 \mathbb{Z,Q,R,C} は全て整域である。

いわゆる「数」は整域ですね。

よく高校生が, x^2+2x-3=0 を解くのに, (x+3)(x-1)=0 とやって, x=-3, 1 と解きますが,これは複素数が整域であることを使っています。

例2.

可換環 \mathbb{Z}^2 は整域でない。たとえば,

(0,2) \times (1, 0)= (0,0)


である。

他にも n \ge 2 に対し, \mathbb{Z}^n,\mathbb{Q}^n,\mathbb{R}^n ,\mathbb{C}^n や,他にも \mathbb{Z}\times \mathbb{R} などは整域ではありません。

例3.

通常の和・積を備えた関数全体の集合のなす可換環 F(\mathbb{R}) は整域でない。たとえば,

1_{(0,\infty)} \times 1_{(-\infty,0)}=0


である。ただし, 1_{\cdot}定義関数(指示関数)を表す。

例4.

可換環 \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} ({}\bmod 4 の世界) は整域でない。たとえば,\overline{2}\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} に対し,

\overline{2}\times \overline{2}=\overline{0}


である。ただし, \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} =\{\overline{0}, \overline{1} , \overline{2} , \overline{3} \} とした。

\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} は整域ではありません。一方で,たとえば \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} は整域になります。

整域の基本的な性質

整域の定義

整域の基本的な性質4つを紹介し,その証明をしておきましょう。

定理(整域の基本的な性質)

  1. 整域の部分環は整域である。
  2. 体は整域である。
  3. 有限整域(有限集合の整域)は体である。
  4. A が整域のとき, A[x_1,x_2,\dots, x_n] (A 係数 n 変数多項式)も整域である。

順番に証明していきましょう。

証明

1. 整域の部分環は整域であること

明らか。

2. 体は整域であること

ab=0 かつ a\ne 0 とする。体は 0 でない元について,その乗法逆元 a^{-1} が存在する。 ab=0 の両辺に a^{-1} をかけて b=a^{-1}0=0 である。

3. 有限整域は体であること

R=\{0, a_1,a_2,\dots, a_n\} を整域 ( a_i は全て 0 でなく,どの2つも異なる) とする。 a\ne 0 に対し,

aa_1, aa_2, \dots, aa_n


を考える。R は整域で,a,a_i\ne 0 より, aa_i\ne 0 である。また, i\ne j に対し, a_i-a_j\ne 0 より, a(a_i-a_j) \ne 0 すなわち aa_i\ne aa_j である。

ゆえに, aa_1, aa_2, \dots, aa_n の中には, a_1,a_2,\dots, a_n が一つずつ現れる。特に, aa_r=1 となる r が存在する。これは a^{-1} の存在を意味し, R は体である。

4. A が整域ならば A[x_1,x_2,\dots, x_n] も整域であること

A が整域ならば, A[x] も整域であること示せば, A[x_1,\dots, x_n]=A[x_1,\dots, x_{n-1}][x_n] と帰納法により従う。よって青字を示す。

f(x),g(x)\in A[x] として, f(x)g(x)=0 とする。 f(x),g(x) の最高次項をそれぞれ a_kx^k, b_lx^l\; (a_k, b_l\ne 0) とすると, A は整域より, a_kb_l\ne 0 であり, f(x)g(x) の最高次項は a_kb_l x^{k+l} である。よって, k=l=0 である。

ゆえに, f(x), g(x)\in A であり, A は整域だから, f(x)=0 または g(x)=0 となる。したがって, A[x] も整域である。

証明終

他にも,可換環 R に対して, I\subset R が素イデアルであることの必要十分条件は R/I が整域であることです。この証明は,以下で行っています。

さらに進んだ概念

さらに進んだ概念を軽く紹介しておきましょう。

  • 素元 …… 素イデアルの生成元となる元(素数の概念に対応)
  • 既約元 …… 二つ以上の単元(可逆元)でない元の積で書けない元(割り切れないという概念に対応)
  • 単項イデアル整域(PID) …… イデアルの生成元が常に一つになる整域
  • 一意分解整域(UFD) …… 各元が素元の積に一意的にかける整域(素因数分解の概念がある)
  • ユークリッド整域 …… ユークリッド互除法の概念がある整域
  • ネーター整域 …… イデアルの生成元が常に有限個になる整域

他にもさまざまな整域が考えられていますが,環論の基礎に相当するのは以上の話でしょう。またいずれ解説記事を作りたいものです。

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