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ピタゴラス数の求め方(解)・性質とその証明

数論

a^2+b^2=c^2 をみたすような正の整数 (a,b,c) をピタゴラス数といいます。特に, a,b,c の3数の最大公約数が 1 であるピタゴラス数 (a,b,c) を原始ピタゴラス数といいます。

原始ピタゴラス数は(いい感じの条件を課すと)

a= m^2-n^2,\quad b= 2mn, \quad c= m^2+n^2


m,n は正の整数)とかけることが知られています。これについて掘り下げていきましょう。

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ピタゴラス数・原始ピタゴラス数

ピタゴラス数のイメージ

ピタゴラス数・原始ピタゴラス数の定義

定義(ピタゴラス数・原始ピタゴラス数)

\color{red}\boldsymbol{a^2+b^2=c^2} となる正の整数の組 (a,b,c)ピタゴラス数 (Pythagorean triple) という。特に \operatorname{gcd}(a,b,c)=1 のとき,原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) という。

(a,b,c) をピタゴラス数とするとき,正の整数 k に対して, (ka,kb,kc) もピタゴラス数になります。これは本質的には同じもので,面白くないです。よって,最大公約数が 1 のみのものを考え,それを「原始ピタゴラス数」というわけです。

各辺の長さが整数の直角三角形はピタゴラス数ですね。

原始ピタゴラス数の例

原始ピタゴラス数の例を述べておきましょう。

\begin{gathered}(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), \\ (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), \\(11,60,61), (28,45,53) , (33, 56,65), \cdots \end{gathered}

よりたくさんの例を知りたい場合は,ピタゴラス数一覧【10000以下全て1593個】を参照してください。

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ピタゴラス数の性質

  • 原始ピタゴラス数を 3,4,5 で割った余りに関する話
  • 原始ピタゴラス数の解(求め方)

について順番に述べましょう。

ピタゴラス数とmod

定理1(ピタゴラス数と {}\bmod{}

(a,b,c)a^2+b^2=c^2 をみたす原始ピタゴラス数とする。このとき,

  1. a,b のいずれか一方のみ 3 の倍数になる。
  2. a,b のいずれか一方のみ 4 の倍数になる。
  3. a,b,c のいずれか一つのみ 5 の倍数になる。

これらより,ピタゴラス数の積 abc は必ず 60 の倍数になることも分かりますね。

略証

a,b,c の3つの数の最大公約数が 1 であることに注意する。

{}\bmod 3 で考えると,x が整数のとき, x^2\equiv 0,1 \pmod 3 である。 a^2, b^2 {}\bmod 3 0,1 と合同な場合4通りを場合分けしてすべて考えると,題意が示される。

{}\bmod 4 で考えると,x が整数のとき, x^2\equiv 0,1 \pmod 4 である。 a^2, b^2 {}\bmod 4 0,1 と合同な場合4通りを場合分けしてすべて考えると,題意が示される。

{}\bmod 5 で考えると,x が整数のとき, x^2\equiv 0,1,4 \pmod 5 である。 a^2, b^2 {}\bmod 4 0,1,4 と合同な場合9通りを場合分けしてすべて考えると,題意が示される。

証明終

ピタゴラス数の解(求め方)

上の証明と同様にすると, \operatorname{gcd}(a,b,c)=1 a^2+b^2=c^2 をみたすとき, a,b の片方は奇数で,もう一方が偶数であることが分かります。ここでは,a が奇数で,b を偶数としましょう。また,このとき明らかに c は奇数です。

定理2(ピタゴラス数の表現)

a^2+b^2=c^2 をみたす原始ピタゴラス数 (a,b,c) であって, b が偶数であるものは,

\large \color{red}\begin{aligned} a&= m^2-n^2,\\ b&= 2mn, \\ c&= m^2+n^2 \end{aligned}


とかける。ただし, m>n>0 は整数で, m, n は互いに素, m,n のいずれかは偶数である。

逆に,このようにかける a,b,c は原始ピタゴラス数である。

証明

前半について

a,b,c の3数の最大公約数が 1 であることと, a^2+b^2=c^2 より, a,b,c はどの2つも互いに素である(背理法でスグ分かる)。 b は偶数より, b=2b_1 b_1 は整数)とできる。

a^2+4b_1^2=c^2 より, 4b_1^2=(c+a)(c-a) である。ここで, c-a, c+a 最大公約数は 1 または 2 である(なぜなら, d=\operatorname{gcd}(c+a,c-a) とし, dx=c+a, \, dy=c-a とすると,d(x+y)=2c, \, d(x-y)=2a で, a,c は互いに素なので, d 2 の約数である)。

また, a,c は共に奇数より, c+a,c-a は共に偶数である。

以上から, (c+a)/2,(c-a)/2 は互いに素な整数で, b_1^2=\dfrac{c+a}{2}\cdot \dfrac{c-a}{2} より,

\frac{c+a}{2}=m^2,\quad \frac{c-a}{2}=n^2


m, n は互いに素な正の整数)とかける。 (c+a)/2>(c-a)/2 より, m>n>0 である。これを a,c について解くと,

a=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2.


これを a^2+b^2=c^2 に代入すると, b=2mn も得る。 a,c は奇数であり,定理1より b 4 の倍数なので, m,n のいずれかは偶数である。以上から,示された。

後半について

a=m^2-n^2, \, b=2mn, \, c=m^2+n^2 とすると a^2+b^2=c^2 をみたすことは明らか。 \operatorname{gcd}(a,b,c)=1 を示す。 \operatorname{gcd}(a,b)=1 を示せばよい。 m,n の偶奇が異なるので,明らかに a,b の偶奇も異なる。 よって奇素数 p a,b をともに割り切ることがないことを示せばよい。よって奇素数 p a,b の公約数とする。

p b=2mn を割り切る(これを \color{red} p\mid 2mn とかく)ので, p \mid m または p\mid n である。 p\mid m とする。これと p\mid m^2-n^2 より, p\mid n^2 となって, p\mid n がわかるが,これは m,n が互いに素であることに矛盾する。同様に p\mid n を仮定しても同じである。

証明終

この定理を基に,ピタゴラス数と m,n の関係は以下のようになります。

a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2+n^2mn
34521
5121332
1581741
7242543
21202952
9404154
35123761
11606165
45285372
33566574

よりたくさんの例を知りたい場合は,ピタゴラス数一覧【10000以下全て1593個】を参照してください。

ピタゴラス数と円・直線

x^2+y^2=1 をみたす有理数 x, y\in\mathbb{Q} を求めよという問題は, x=a/c,\, y=b/c とすることで a^2+b^2=c^2 にできますから,ピタゴラス数の問題だと思えます。実際, 0 以上の整数 m, n m^2+n^2>0)を用いて

\color{red}x=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2} ,\quad y=\frac{2mn}{m^2+n^2}


と表せます。これは, m=0 のとき (-1,0) で, m\ne 0 のとき,以下のように (-1,0) を通り傾き n/m の直線と, x^2+y^2=1 (-1,0) 以外の交点と思えます。

ピタゴラス数の定理を円と直線のグラフの交点で理解する

あるいは, t=n/m とすると, x^2+y^2=1\;(x,y\in\mathbb{Q}) の解は

\color{red}(x,y)=(-1,0), \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right) \quad (t\in\mathbb{Q})


とかくことも可能です。これは図を活用して,以下のように簡単に証明することができます。

x^2+y^2=1 の有理数解が直前の赤字の式になる証明

(x,y)=(-1,0), \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)\; (t\in\mathbb{Q}) は明らかに有理数解である。逆に,有理数の組 (x,y) x^2+y^2=1 をみたすとする。

x=-1 のとき, y=0 である。 x\ne -1 のとき, t=y/(x+1) とおくと, t\in\mathbb{Q} であり, y=t(x+1) であるが,これは図のように点 (x,y) が直線 y=t(x+1) 上にあることを意味している。

ピタゴラス数の定理を円と直線のグラフの交点で理解する

y=t(x+1) x^2+y^2=1 を連立して解くと,

(x,y)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)


となる。

証明終

さらに, t=\tan(\theta/2) と定めると,

(x,y)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=(\cos\theta, \sin\theta)


となり,三角関数とも密接に関係していることが分かります。これは,以下の図で説明可能です。

ピタゴラス数と三角関数の関係

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