ビュフォンの針の理論

ビュフォンの針とは，針を落として，等間隔に並んだ線と交わる確率を求めるという話です。円が全く絡んでいないにもかかわらず，確率に円周率 \pi が出てくるため，不思議に思われることが多いです。

ビュフォンの針について，その確率を数学的に導出しましょう。

ビュフォンの針

たとえば上の図の場合，針7本のうち，線と交差しているのは4本ですね。このように，線と針は交差する場合と交差しない場合がありますが，その確率は上のように書けるというわけです。

さて，ここで針は線の上に無作為に落とします。無作為とは，針の位置・角度がそれぞれ一様分布に従っているということです。

針の角度と，線と平行な向きの反時計回りに測った角度を 0\le \theta \le \pi としましょう。このとき以下の図から，線と交わる確率 p(\theta) は \color{red}p(\theta)=\min\left\{ \dfrac{l\sin\theta}{d}, 1\right\} ，すなわち， \dfrac{l\sin\theta}{d} と 1 の小さい方だと分かります。

実際の針は，角度が 0\le \theta\le \pi の範囲を動きますから， p(\theta) をこの範囲で積分して，全体の面積 \int_0^\pi 1\, dx=\pi で割り算してあげればよいというわけです。

ビュフォンの針の証明

上の図を踏まえて，証明していきます。求める確率は，以下の図における灰色全体（うすい灰色＋濃い灰色）の面積における，濃い灰色の面積の割合です。

証明

l\le d のとき

うすい灰色全体の面積は \pi なのに対して，濃い灰色の部分の面積は

\int_0^\pi \frac{l}{d} \sin \theta\, \mathrm{d}\theta = \left[-\frac{l}{d}\cos\theta\right]_0^\pi =\frac{2l}{d}

であるから，灰色全体に対して，濃い灰色の部分の割合は， \dfrac{2l}{\pi d} である。

d< l のとき

\theta_0=\sin^{-1} \dfrac{d}{l} と定める。すなわち， 0\le \theta_0\le \pi/2 を \sin \theta_0=d/l をみたすものとして定める。

このとき，濃い灰色の面積について， \theta=\pi/2 に関する対称性を利用すると，

\begin{aligned}&2\left\{\int_0^{\theta_0}\frac{l}{d}\sin \theta \mathrm{d}\theta + \left(\frac{\pi}{2}-\theta_0\right)\right\} \\ &= \left[ -\frac{2l}{d}\cos\theta\right]_0^{\theta_0} +2 \left(\frac{\pi}{2}-\theta_0\right) \\ &= \frac{2l}{d} (1-\cos\theta_0) +\pi -2\theta_0 \end{aligned}

ここで， \cos\theta_0=\sqrt{1-\sin^2\theta_0}= \sqrt{1-\dfrac{d^2}{l^2}} も踏まえると，

\begin{aligned}&\frac{2l}{d} (1-\cos\theta_0) +\pi -2\theta_0 \\ &= \frac{2l}{d} \left( 1-\sqrt{1-\dfrac{d^2}{l^2}} \right)+\pi -2 \sin^{-1} \dfrac{d}{l} \\ &= \pi-\frac{2l}{ d}\left( \frac{d}{l}\sin^{-1}\frac{d}{l} +\sqrt{1 - \frac{d^2}{l^2}} - 1\right) \end{aligned}

なので，灰色全体に対して濃い灰色の割合は

1-\frac{2l}{ \pi d}\left( \frac{d}{l}\sin^{-1}\frac{d}{l} +\sqrt{1 - \frac{d^2}{l^2}} - 1\right)

である。

証明終

ビュフォンの針を用いた円周率の近似

簡単のため， l=d としましょう。すなわち，針の長さが線の間隔と等しいとします。すると，針を落としたときに線の交わる確率は \dfrac{2}{\pi} になります。

実際に針を N 本落として， M 本が線と交わったとしましょう。このとき，おおよそ

すなわち

と近似できるわけです。この手法を用いれば，円周率 \pi を求めることができそうですね。実際のところは，この近似手法は近似の精度が良くない（精度よく近似するためには，ものすごい数の針を投げなければならない）ため，使われることは少ないです。