交代級数の収束性の証明とその具体例

微分積分学(大学)

正の項と負の項が交互に現れる級数を交代級数 (alternating series) といいます。つまり,a_n \ge 0 \,\, (n \ge 1) に対して,

\sum_{k=1}^n {(-1)}^{k+1} a_k = a_1 - a_2 + a_3 - \cdots + {(-1)}^{n+1} a_n

を交代級数といいます。今回は,ライプニッツの交代級数定理ともいわれる,級数に関する驚くべき定理を証明しましょう。

ライプニッツの交代級数定理

定理(ライプニッツ; Leibniz )

数列 \{a_n\}a_n \ge 0 をみたし,単調減少,\lim_{n\to\infty} a_n =0 であるとする。このとき,

\color{red}\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1} a_n

は収束する。

証明は高校生でもおおむね理解できると思います。確認していきましょう。

ライプニッツの定理の証明

証明

S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{n+1} a_n とおく。このときa_{2n-1} - a_{2n} \ge 0, - a_{2n} + a_{2n+1} \le 0 であることと,

S_{2n} = \sum_{k=1}^n (a_{2k-1} - a_{2k}),\\ S_{2n+1} = a_1 + \sum_{k=1}^n (a_{2k} - a_{2k+1})

であることより,{S_{2n}} は単調増加,{S_{2n+1}} は単調減少である。よって特に
s_1 = \lim_{n\to\infty} S_{2n} \in [0, \infty],\\ s_2 = \lim_{n\to\infty} S_{2n+1} \in [-\infty, a_1]
が存在する。
また,a_{2n+1} = S_{2n+1} - S_{2n} の両辺 n\to\infty として,0 = s_2 - s_1 より,s_1 = s_2 \in [0, a_1] である(単に s とかくことにする)。
以上から, \lim_{n\to\infty}S_n = s となり,級数は収束する。

証明終

面白い定理ですが,証明はシンプルかもしれません。

具体例

具体例を2つ挙げてみます。

\log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

極限値の導出は,またの機会にしましょう。

ライプニッツの定理の一般化

この定理は,より一般の結果が知られています。それについて紹介しましょう。

ちょっとした一般化

定理

\{a_n\} は単調減少かつ a_n \xrightarrow{n\to\infty} 0 とすると,

  1. \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \sin n \theta \, (\theta \in \mathbb{R} ) は収束する。
  2. \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n \theta \, (\theta \in \mathbb{R}\setminus \{2m\pi\mid m \in \mathbb{Z}\}) は収束する。
  3. \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n e^{in\theta} \, (\theta \in \mathbb{R}\setminus \{2m\pi\mid m \in \mathbb{Z}\}) は収束する。

2.において, \theta = \pi とすると,\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n \pi = \sum_{n=1}^infty (-1)^n a_n となり,交代級数の収束の話になるため,上の3つは確かに一般化になっていますね。

さらに,これも含む一般化として,以下のようなものがあります。

さらなる一般化~ディリクレの定理~

定理(ディリクレ; Dirichlet)

実数の数列 \{a_n\} は単調かつ a_n \xrightarrow{n\to\infty} 0 とし,実数または複素数の数列 \{b_n\} は,その部分和列 \{S_n = \sum_{k=1}^n b_k\}_n有界であるとする。
このとき,

\color{red} \sum_{n=1}^\infty b_na_n


は収束する。

b_n = (-1)^{n+1} とすれば交代級数の話になり, b_n = \sin n \theta などとすれば,一つ上の一般化の話になります。よって,これはさらなる一般化になっています。

この定理の証明は,少々難易度が上がります。これについては,以下を参照してください。

その他の「級数の収束」

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