微分積分学(大学)

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ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~

ベータ関数 (beta function) とは,B(x,y) = ∫_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt と定義される特殊関数です。これについて,その定義と性質とその証明を行いましょう。
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ガンマ関数とは~定義と性質をわかりやすく~

階乗の一般化であり,解析学でよく使われる関数であるガンマ関数 (Gamma function) について,その定義と性質を詳しく述べましょう。
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【乗積級数】コーシー積とその証明~2つの無限級数の積~

2つの無限級数の積に関する定理である,コーシー積 (Cauchy product) に関する Mertens の定理を紹介し,その証明を行いましょう。最後には具体例も述べます。
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広義積分の定義と具体例5つ

リーマン積分における広義積分(広義リーマン積分 improper integral, improper Riemann integral)について,その定義と具体例5つを紹介します。
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1/nlogn型の級数の収束・発散

1/n^pの和の収束・発散について,0<p≤1で発散し,p>1で収束することは有名でしょう。これと同じようなことが,1/(n(log n)^p)の無限和についても成り立ちます。この定理の主張について確認し,広義積分による収束判定法を用いて証明しましょう。
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【級数の収束判定法】Cauchy Condensation Test

級数の収束判定法の1つである,Cauchy condensation test(あるいは日本語で「コーシーの凝集判定法」)について,その定理の主張と証明を追っていきましょう。
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微分積分学の基本定理とその証明

微分積分学の基本定理とは,リーマン和による積分と,原始関数の概念をつなげる重要かつ基本的な定理です。「微分と積分は逆の操作であることを保証する定理」と言ってもいいでしょう。これについて,その主張と証明を紹介します。
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べき級数におけるアーベルの定理とその応用例・証明

べき級数におけるアーベルの定理(アーベルの連続性定理; Abel's theorem)について,その定理の主張と応用例,そして証明を述べましょう。実数の場合と複素数の場合の両方を別々に扱います。
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【スターリングの公式】階乗n!の近似公式とその厳密な証明

n!の近似公式であるスターリングの公式 (Stirling's formula) について,その主張と厳密な証明を紹介します。n!~√2π(n/e)^nである。ここで,f~gとは,f(x)/g(x) → 1 (x→1) を指す。
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ウォリスの公式3つとその証明

ウォリスの公式 (Wallis formula,ワリスの公式) と呼ばれる公式を3つの形で紹介し,それらの公式を証明します。円周率πが登場するきれいな公式の1つです。
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