大学教養

線形代数学

グラム行列の定義と主な性質3つ

グラム行列 (Gram matrix) とは,(i, j)成分がベクトルx_i,x_jの内積になる行列のことです。これについて,定義と性質を証明付きで解説しましょう。
線形代数学

スカラー行列とは~定義と大事な性質~

スカラー行列 (scalar matrix) とは,単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで,まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて,定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。
数論

中国剰余定理とその詳しい証明

中国剰余定理 (chinese remainder theorem) とは,複数の割り算の余りに関する定理です。中国式剰余定理とも言います。中国剰余定理について,その主張と詳しい証明を解説していきます。
数論

平方剰余・平方非剰余とルジャンドル記号

合同式における平方剰余(quadratic residue)・平方非剰余(quadratic nonresidue)の概念と,それを扱うのに便利なルジャンドル記号(Legendre symbol)の定義・性質について,順を追って解説していきましょう。
確率論

【確率論】チェビシェフの不等式とその例題・証明

チェビシェフの不等式 ( Chebyshev's inequality) とは,裾の確率を上から評価する不等式を指します。これについて,例題や証明を理解していきましょう。証明にはマルコフの不等式を用います。
線形代数学

行列の固有多項式・最小多項式の定義・求め方・性質

正方行列における,固有多項式 (characteristic polynomial)・最小多項式 (minimal polynomial) について,その定義と求め方,性質を順番に解説していきましょう。
線形代数学

ケーリーハミルトンの定理とその厳密な証明をわかりやすく

ケーリーハミルトンの定理(Cayley-Hamilton theorem)とは,正方行列Aの固有多項式p_A(λ)に対し,p_A(A)=O_nとなる定理です。今回は,最小多項式の基にもなっているケーリーハミルトンの定理について紹介します。
線形代数学

固有値に関するフロベニウスの定理とその証明

行列の固有値における,フロベニウスの定理 (Frobenius theorem) を紹介し,証明をていねいに行いましょう。
線形代数学

歪エルミート行列の定義と重要な性質5つ

歪エルミート行列(わいえるみーとぎょうれつ,反エルミート行列)とは,随伴行列(共役転置)をとると元の行列の-1倍になるような行列を指します。すなわち,A^*=-Aですね。これについて,その定義と性質を解説しましょう。
線形代数学

交代行列の定義と重要な性質5つ

交代行列 (反対称行列,歪対称行列,alternating matrix) とは,転置行列が元の行列の-1倍になる行列,すなわちA^T =-Aをみたす行列を指します。
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