大学教養

集合と位相

ベルンシュタインの定理とその証明【双方単射があれば全単射がある】

ベルンシュタインの定理(Schröder–Bernstein theorem)とは,2つの集合それぞれを定義域・終域とする双方向の単射があれば,全単射があるという定理です。ベルンシュタインの定理について,イメージ図を交えて証明していきましょう。
数論

ピタゴラス数の求め方(解)・性質とその証明

a^2+b^2=c^2をみたすような正の整数(a,b,c)をピタゴラス数といいます。特に,3数の最大公約数が1であるピタゴラス数(a,b,c)を原始ピタゴラス数といいます。原始ピタゴラス数は求め方があります。これについて掘り下げましょう。
解析学(大学)その他

リプシッツ連続とは~定義と性質・他の連続性との関係など~

関数fがリプシッツ連続(Lipschitz continuous)であるとは,|f(x)-f(y)| ≦ K|x-y| が成り立つことを指します。リプシッツ連続について,その定義と例,一様連続など他の連続性との関係,微分と関連する性質について述べましょう。
群・環・体

モニック多項式とは~定義・例・性質~

モニック多項式 (monic polynomial) とは,最高次係数が1である一変数多項式のことを言います。モニック多項式について,簡単に定義・例・性質を紹介しましょう。
群・環・体

同次式(斉次式)とは

同次式(どうじしき)あるいは斉次式(せいじしき; homogeneous polynomial)とは,(多変数)多項式において,全ての項の次数が等しいようなものを言います。同次式(斉次式)について,定義と具体例,性質をまとめます。
確率論

ビュフォンの針の理論

ビュフォンの針(Buffon's needle)とは,針を落として,等間隔に並んだ線と交わる確率を求めるという話です。円が全く絡んでいないにもかかわらず,確率に円周率が出てくるため,不思議に思われることが多いです。ビュフォンの針について,その確率を数学的に導出しましょう。
解析学(大学)その他

無限積の定義と性質・無限和の収束との関係

無限積あるいは無限乗積 (infinite product) とは,無限個の積のことをいいます。無限積の定義と,その収束性について,無限和との関連性や絶対収束を含めて述べましょう。
解析学(大学)その他

【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式について詳しく

コーシーの関数方程式 (Cauchy's functional equation) とは,f(x+y)=f(x)+f(y)となる関数方程式のことを言います。これの解fを求め,さらにその関連である関数方程式の解を求めましょう。
線形代数学

ハメル基底とは~有理数上実数の基底~

ハメル基底 (Hamel basis)とは,実数を有理数上のベクトル空間とみなしたときの基底のことを言います。ハメル基底についてその定義と濃度,関連する話題を紹介しましょう。
線形代数学

ベクトル空間には必ず基底が存在する証明~選択公理から~

任意のベクトル空間には,必ず基底が存在することを証明します。証明には,選択公理と同値なツォルンの補題を用います。