四分位数・四分位範囲・四分位偏差をわかりやすく図解

データを昇順に並べ，4等分したときの境界にあたる3つの数を「四分位数」といい，この3つの数のうち一番大きいものから一番小さいものを引いたのを「四分位範囲」，四分位範囲を2で割ったものを「四分位偏差」といいます。

四分位数・四分位範囲・四分位偏差について，図を交えて解説しましょう。

四分位数・四分位範囲・四分位偏差とは
四分位数から箱ひげ図へ
参考

四分位数・四分位範囲・四分位偏差とは

四分位数とは，データを昇順に4つに分けるものですが，定義には「中央値」の概念が必要です。まずこれについて復習しましょう。

中央値の復習

中央値

データにおいて，昇順に並べたときの真ん中の値(数が偶数個のときは真ん中の2つの値の平均)を中央値 (median) という。

中央値については，以下でも解説しています。

四分位数・四分位範囲・四分位偏差

さて，準備は整いました。四分位数・四分位範囲・四分位偏差を定義しましょう。

定義（四分位数・四分位範囲・四分位偏差）

データを昇順に並べたとき，小さいものから25%の値 $\color{red}\boldsymbol{ Q_1}$ を第一四分位数 (first quartile; lower quartile)，50%の値 $\color{red}\boldsymbol{Q_2}$ を第二四分位数 (second quartile) または中央値 (median)，75%の値 $\color{red}\boldsymbol{ Q_3}$ を第三四分位数 (third quartile; higher quartile) という。

$\color{red}\boldsymbol{Q_3-Q_1}$ を四分位範囲 (interquartile range; IQR)， $\color{red}\boldsymbol{ \dfrac{Q_3-Q_1}{2}}$ を四分位偏差 (interquartile deviation) という。

第二四分位数は中央値と同じです。

注意として，小さいものから25% 75%の解釈は何通りかあり，ばらつきがあります。ここでは，高校の検定教科書で紹介されている定義を紹介しましょう。データは左から昇順に並んでいるものとします。

まず，データが奇数個の場合を考えましょう。第二四分位数 $Q_2$ は中央値ですから，上で復習したとおりです。そして，真ん中のものを含まない小さい値と大きい値のブロックに分け，小さい方のブロックの中央値を第一四分位数 $Q_1$ ，大きい方のブロックの中央値を第三四分位数 $Q_3$ とします。

データが偶数個の場合について考えます。第二四分位数 $Q_2$ は中央値ですから真ん中の値2つの平均値ですね。そして，偶数個のデータをちょうど小さい値と大きい値のブロックに真っ二つに分け，小さい方のブロックの中央値を第一四分位数 $Q_1$ ，大きい方のブロックの中央値を第三四分位数 $Q_3$ とします。

これが，オーソドックスな四分位数の定義です。

四分位数・四分位範囲・四分位偏差の具体例

例1.

データが $0,10,30, 30, 50, 60, 80, 90,100$ であるとき，

\color{red}\begin{aligned} Q_1&= 20, \\ Q_2&= 50, \\ Q_3&= 85\end{aligned}

である。四分位範囲は $Q_3-Q_1 = 85-20=65$ ，四分位偏差は $\dfrac{Q_3-Q_1}{2}=\dfrac{65}{2} = 32.5$ となる。

実際に $Q_1, Q_2,Q_3$ 求めるときは，まず $Q_2$ から考えるとよいでしょう。

例2.

データが $0,1,1,2, 3, 5, 8, 9, 9,10$ であるとき，

\color{red}\begin{aligned} Q_1&= 1, \\ Q_2&= 4, \\ Q_3&= 9\end{aligned}

である。四分位範囲は $Q_3-Q_1 = 9-1=8$ ，四分位偏差は $\dfrac{Q_3-Q_1}{2}=\dfrac{8}{2} = 4$ となる。

四分位数のその他の定義

「四分位数の定義にはばらつきがある」といいましたが，ここでは別の定義を簡単に紹介しましょう。

上の定義では，データ数が奇数の場合は真ん中の値を除いて２つのブロックに分けましたが，真ん中の値を含めて2つのブロックに分け，それぞれの中央値を考えるやり方があります。データ数が偶数のときは上の定義と同じです。
データ数が偶数のときは上の定義と同じで，奇数のときはデータ $x_1\le \dots\le x_{n}$ の数が $n=4k+1$ のとき， $Q_1=\dfrac{x_n+3x_{n+1}}{4},Q_3=\dfrac{3x_{3n+1}+x_{3n+2}}{4}$ とし， $n=4k+3$ のときは $Q_1=\dfrac{3x_{n+1}+x_{n+2}}{4}, Q_3=\dfrac{x_{3n+2}+3_{3n+3}}{4}$ とするやり方があります。

四分位数はデータの概要を知りたいだけですから，実際のところ，この辺の定義の違いはあまり気にしなくて良いです。