集合と位相

位相空間における局所連結とは，各点が連結な基本近傍系をもつことをいいます。連結であっても局所連結とは限らないし，局所連結であっても連結とは限りません。局所連結の定義・具体例・性質を述べましょう。最後には，点ごとの局所連結・弱局所連結についても解説します。

ほうき空間とは，ざっくり言うと平面上において，ある点から放射状に無限本の線分を伸ばした位相空間です。見た目からほうき空間と呼ばれることがあります。ほうき空間自体も面白いですが，後で紹介するほうき空間の無限個の繋ぎ合わせが面白いです。見ていきましょう。

くし空間は，R^2における，連結性のところで具体例に出される部分空間で，「くし」みたいな形をしています。定義と位相的性質を紹介しましょう。

弧状連結とは，空間内の任意の2点が道で結べる，すなわち，単位区間からの連続写像が構成できるような位相空間のことをいいます。また，弧連結とは，道として弧が取れる，連続写像よりさらに強い同相写像が取れるような位相空間のことをいいます。さらに局所弧状連結・局所弧連結についても述べましょう。

位相空間のある点における連結成分とは，その点を含む最大の連結部分集合のことをいいます。また，任意の点の連結成分が自分自身のみの1点集合であるとき，その位相空間は完全不連結であるといいます。連結成分と完全不連結性について，詳しく紹介しましょう。

位相空間における連結性とは，その空間が互いに素な（互いに共通部分をもたない）2つの開集合で分割できないことをいいます。これは，開かつ閉である部分集合が空集合と全体集合に限ることと同値です。連結性は「ひとつながり」を想起させる概念です。連結性についてその定義と基本的性質を紹介しましょう。

普遍ネット(超ネット)とは，ネットであってかつ，任意の部分集合に対し，その集合またはその補集合に eventually in となるようなものです。点列で考えても面白くない概念で，ネット特有の概念と言えます。普遍ネットを用いれば，コンパクト性も簡単に記述できます。紹介しましょう。

位相空間におけるフィルターとは，収束の概念を集合族によって記述する概念であり，ネット(有向点族)と並んで，位相空間の性質を収束という観点から扱うのに有用なツールです。本サイトでは位相空間におけるフィルターの概念と，それによって記述される位相的性質を証明付きで紹介しましょう。

ハウスドルフ空間（T2空間）とは，任意の異なる2点が，開集合によって分離される空間のことをいいます。言い換えると，2点の開近傍で，共通部分をもたないものを取ってこれるということです。ハウスドルフ空間は，距離空間や位相多様体・関数解析における弱位相など，位相空間の応用上，最も成り立つ性質の一つと言えます。ハウスドルフ空間についての定義・具体例・性質を詳しく紹介しましょう。