集合と位相

位相空間の部分集合が，稠密（ちゅうみつ）であるとは，閉包が全体集合に一致することを言い，可分であるとは，高々可算な稠密部分集合を持つ位相空間のことを言います。稠密の定義と可分の定義を，それぞれたくさんの具体例を添えて確認していきましょう。

ユークリッド空間・距離空間・位相空間における集積点・孤立点の定義と具体例を図解付きで解説します。特に，ユークリッド空間・距離空間における集積点・孤立点をしっかり理解していきましょう。

ユークリッド空間・距離空間・位相空間におけるある集合の「閉包」とは，ある集合を含む最小の閉集合のことです。まずは位相空間における一般的な閉包を定義し，ユークリッド空間・距離空間におけるもっとイメージしやすい定義を述べましょう。

ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合とは，ものすごく崩して言うと，R における開区間・閉区間をより一般の集合で考えたようなものです。開集合・閉集合について定義し，その例を紹介します。

位相空間論における相対位相とは，位相空間の部分集合に入る位相のことです。元の位相と同じ性質を引き継ぐこともあれば，全く異なる性質を持つこともあります。相対位相・部分位相空間について，その定義と具体例・性質とその証明をしていきます。

集合の内点・外点・境界点と，その集合である内部(開核)・外部・境界について，具体例を用いながら詳しく図解していきます。まず，ユークリッド空間において考えることでイメージを膨らませ，それからより一般的な距離空間や位相空間における内部(開核)・外部・境界を考えます。

離散距離空間とは，全ての点が離れているような空間です。ユークリッド空間とは全く違う空間ですが，距離空間における基本的な空間です。離散距離空間について，その定義と性質を解説しましょう。

位相空間とは，点の近さを土台とする「収束性・写像の連続性」が議論できる抽象的な空間といえます。その定義はかなり抽象的なものですが，ユークリッド空間や距離空間でなくても，さらに一般的に広く収束・連続の概念を取り扱うことができ，大学以上の数学を深めるうえで欠かすことのできない概念です。

距離空間あるいはその部分集合が全有界であるとは，任意に小さい有限個の円板で，その集合全体が覆えることを言います。距離空間における全有界性について，有界性との違いを比較しながらその定義・例を理解していきましょう。全有界であれば有界であることの証明も行います。