集合と位相

位相空間におけるフィルターとは，収束の概念を集合族によって記述する概念であり，ネット(有向点族)と並んで，位相空間の性質を収束という観点から扱うのに有用なツールです。本サイトでは位相空間におけるフィルターの概念と，それによって記述される位相的性質を証明付きで紹介しましょう。

ハウスドルフ空間（T2空間）とは，任意の異なる2点が，開集合によって分離される空間のことをいいます。言い換えると，2点の開近傍で，共通部分をもたないものを取ってこれるということです。ハウスドルフ空間は，距離空間や位相多様体・関数解析における弱位相など，位相空間の応用上，最も成り立つ性質の一つと言えます。ハウスドルフ空間についての定義・具体例・性質を詳しく紹介しましょう。

第一可算とは，各点が高々可算な基本近傍系をもつ位相空間，すなわち可算個の近傍で各点周りの開集合が記述できるような空間です。第一可算な空間は，点列の収束で多くの性質が記述できる良い性質をもちます。第一可算について，その定義と点列で扱えるという性質，それから具体例を紹介しましょう。

ある位相空間が第二可算公理をみたす，あるいは第二可算な位相空間とは，高々可算個からなる開基をもつことを言います。すなわち，可算個の集合の集まりから，開集合族が作れるような空間のことです。「可算性」があると，位相空間としては扱いやすいことが多く，人間の直感も通用しやすいです。第二可算公理について定義を述べ，具体例と良い性質を紹介しましょう。

点列コンパクトとは，任意の点列が収束部分列をもつような位相空間のことを言います。「点列がコンパクトにまとまっている」ようなイメージの空間で，通常のコンパクト性とも関連があります。点列コンパクト性について，通常のコンパクト性とも絡めながら，詳しく解説していきましょう。

可算コンパクトとは，任意の可算開被覆が，有限部分被覆をもつ空間のことを言います。「可算」ではなく任意の濃度を許すと，コンパクトの定義になります。可算コンパクトについて，その定義と性質の証明・具体例を紹介しましょう。

正の整数を添え字とする点列について，添え字をより一般の有向集合に変えたものをネットあるいは有向点族・有向点列といいます。一般の位相空間を扱うにあたって，点列では不十分であることが知られていますが，ネットであれば，一般の位相空間を特徴づけることができます。ネットについて，定義から位相の特徴づけまで，証明付きでかつ点列では不十分であることも確認しながら，進めていきましょう。

位相幾何学者の正弦曲線，あるいは英語でTopologist's sine curveと呼ばれる曲線は，xy平面における曲線y=sin (1/x)に原点を付加した図形です。連結だが弧状連結でない・局所連結でないものとして有名です。位相幾何学者の正弦曲線について考えましょう。

長い直線とは，局所的には直線と同相ですが，実際よりはるかに長い直線で，順序数の間を連続的に埋める形で定義されます。長い直線について，その位相的性質を調べましょう。順序数に関する知識はある程度既知とします。