集合と位相

開写像とは，開集合の像(image)を開集合にうつす写像のことで，閉写像とは，閉集合の像(image)を閉集合にうつす写像のことです。開集合・閉写像の定義と具体例・性質を，連続写像と絡めながら，解説しましょう。

位相空間における連続写像とは，「開集合の逆像が開集合」になるという風に定義されます。まずは，連続写像の定義と，それと同値な性質について，証明付きで紹介し，さらに今までの連続性の定義のベースであった，イプシロンデルタ論法との定義の一貫性を確認します。その後，その他の性質もたくさん述べます。

開基・準開基とは，位相空間における「基底」のような概念で，それをみれば，位相空間全体が分かるようなものです。開基・準開基の厳密な定義と具体例を紹介し，さらに，位相空間全体を生成することを，開基・準開基を絡めて考えてみましょう。

近傍とは，距離のない位相空間に，ある意味「近さ」の概念を入れるものです。距離空間におけるイプシロン近傍から出発して，それを一般化する形で定義します。さらに，基本近傍系はすべての近傍を記述するのに必要十分な部分集合族です。近傍・近傍系と基本近傍系の定義からはじめ，逆に近傍系を用いて位相を定義する話まで解説しましょう。

位相空間の部分集合が，稠密（ちゅうみつ）であるとは，閉包が全体集合に一致することを言い，可分であるとは，高々可算な稠密部分集合を持つ位相空間のことを言います。稠密の定義と可分の定義を，それぞれたくさんの具体例を添えて確認していきましょう。

ユークリッド空間・距離空間・位相空間における集積点・孤立点の定義と具体例を図解付きで解説します。特に，ユークリッド空間・距離空間における集積点・孤立点をしっかり理解していきましょう。

ユークリッド空間・距離空間・位相空間におけるある集合の「閉包」とは，ある集合を含む最小の閉集合のことです。まずは位相空間における一般的な閉包を定義し，ユークリッド空間・距離空間におけるもっとイメージしやすい定義を述べましょう。

ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合とは，ものすごく崩して言うと，R における開区間・閉区間をより一般の集合で考えたようなものです。開集合・閉集合について定義し，その例を紹介します。

位相空間論における相対位相とは，位相空間の部分集合に入る位相のことです。元の位相と同じ性質を引き継ぐこともあれば，全く異なる性質を持つこともあります。相対位相・部分位相空間について，その定義と具体例・性質とその証明をしていきます。