集合と位相

開基・準開基とは，位相空間における「基底」のような概念で，それをみれば，位相空間全体が分かるようなものです。開基・準開基の厳密な定義と具体例を紹介し，さらに，位相空間全体を生成することを，開基・準開基を絡めて考えてみましょう。

近傍とは，距離のない位相空間に，ある意味「近さ」の概念を入れるものです。距離空間におけるイプシロン近傍から出発して，それを一般化する形で定義します。さらに，基本近傍系はすべての近傍を記述するのに必要十分な部分集合族です。近傍・近傍系と基本近傍系の定義からはじめ，逆に近傍系を用いて位相を定義する話まで解説しましょう。

位相空間の部分集合が，稠密（ちゅうみつ）であるとは，閉包が全体集合に一致することを言い，可分であるとは，高々可算な稠密部分集合を持つ位相空間のことを言います。稠密の定義と可分の定義を，それぞれたくさんの具体例を添えて確認していきましょう。

ユークリッド空間・距離空間・位相空間における集積点・孤立点の定義と具体例を図解付きで解説します。特に，ユークリッド空間・距離空間における集積点・孤立点をしっかり理解していきましょう。

ユークリッド空間・距離空間・位相空間におけるある集合の「閉包」とは，ある集合を含む最小の閉集合のことです。まずは位相空間における一般的な閉包を定義し，ユークリッド空間・距離空間におけるもっとイメージしやすい定義を述べましょう。

ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合とは，ものすごく崩して言うと，R における開区間・閉区間をより一般の集合で考えたようなものです。開集合・閉集合について定義し，その例を紹介します。

位相空間論における相対位相とは，位相空間の部分集合に入る位相のことです。元の位相と同じ性質を引き継ぐこともあれば，全く異なる性質を持つこともあります。相対位相・部分位相空間について，その定義と具体例・性質とその証明をしていきます。

集合の内点・外点・境界点と，その集合である内部(開核)・外部・境界について，具体例を用いながら詳しく図解していきます。まず，ユークリッド空間において考えることでイメージを膨らませ，それからより一般的な距離空間や位相空間における内部(開核)・外部・境界を考えます。

離散距離空間とは，全ての点が離れているような空間です。ユークリッド空間とは全く違う空間ですが，距離空間における基本的な空間です。離散距離空間について，その定義と性質を解説しましょう。

位相空間とは，点の近さを土台とする「収束性・写像の連続性」が議論できる抽象的な空間といえます。その定義はかなり抽象的なものですが，ユークリッド空間や距離空間でなくても，さらに一般的に広く収束・連続の概念を取り扱うことができ，大学以上の数学を深めるうえで欠かすことのできない概念です。