大学教養

アレクサンドロフの1点コンパクト化とは，位相空間に新たに1点を追加し，元の空間をそこに埋め込むことで，元の位相的構造を保ったままコンパクトにしようという手続きです。コンパクトな空間は性質が良く，扱いやすいですから，コンパクトにしたいという思いは自然です。アレクサンドロフの1点コンパクト化について具体例も交えて詳しく紹介しましょう。

位相空間において nowhere dense set (疎集合) であるとは，閉包の内部(開核)が空であるような集合のことをいいます。どんな開部分集合上の相対位相で考えても，稠密にならない集合のことをいいます。nowhere dense(疎集合) について，定義・例・性質を解説しましょう。

位相空間における局所コンパクト空間とは，各点がコンパクトな近傍を持つ空間のことを言います。ただし，文献によって定義が異なることがあるため，注意が必要です。本記事では，局所コンパクトの，さまざまな流儀の定義を紹介し，その定義がハウスドルフ空間のときは同値になることや，その他局所コンパクト空間・局所コンパクトハウスドルフ空間の性質を証明付きで解説します。

実数における右順序位相 (right order topology) とは，(a,∞)の形を開集合系とする位相空間です。通常の実数の位相より小さい（粗い・弱い）位相です。実数における右順序位相について，その性質をまとめましょう。

位相空間における局所連結とは，各点が連結な基本近傍系をもつことをいいます。連結であっても局所連結とは限らないし，局所連結であっても連結とは限りません。局所連結の定義・具体例・性質を述べましょう。最後には，点ごとの局所連結・弱局所連結についても解説します。

ほうき空間とは，ざっくり言うと平面上において，ある点から放射状に無限本の線分を伸ばした位相空間です。見た目からほうき空間と呼ばれることがあります。ほうき空間自体も面白いですが，後で紹介するほうき空間の無限個の繋ぎ合わせが面白いです。見ていきましょう。

くし空間は，R^2における，連結性のところで具体例に出される部分空間で，「くし」みたいな形をしています。定義と位相的性質を紹介しましょう。