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正規分布の歪度・尖度とその導出証明

確率論
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正規分布の歪度(わいど)・尖度(せんど)について,

\begin{aligned} \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}&= 0, \\ \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3&= 0 \\ \end{aligned}


と,どちらも 0 になることが知られています。これについて,その導出の証明を行いましょう。

正規分布の歪度・尖度

定理(正規分布の歪度・尖度)

X\sim N(\mu,\sigma^2 ) とする。このとき, X の歪度・尖度はそれぞれ

\color{red} \begin{aligned} \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}&= 0, \\ \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3&= 0 \\ \end{aligned}


である。

歪度(わいど)とは,分布がどれだけ非対称で歪んで(ゆがんで)いるかを表す指標で,尖度(せんど)とは,「正規分布と比べて」分布がどれだけ尖って(とがって)いるかを表す指標です。正規分布は,ちょうどどちらも 0 になります。

最初に,正規分布の確率密度関数を確認しておきましょう。

正規分布の定義

X を確率変数, \mu\in \mathbb{R},\; \sigma > 0 とする。 X の確率密度関数が

\color{red} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}


となるとき, X は平均 \mu ,分散 \sigma^2 正規分布 (normal distribution) に従うといい, \color{red} X\sim N(\mu, \sigma^2) とかく。

正規分布のさまざまなまとめについては,以下の記事を参考にしてください。

正規分布の歪度・尖度の導出証明

さて,それぞれについて,導出の証明を行いましょう。

正規分布の歪度の導出

まずは歪度(わいど) \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} を求めます。

  • 確率密度関数を用いる方法
  • 特性関数の微分を用いる方法

の2通りで証明しましょう。

確率密度関数を用いる方法

証明

期待値と確率密度関数の定義から,

\begin{aligned}&E[(X-\mu)^3] \\ &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^3 p(x)\, dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^3 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx \end{aligned}


y = x-\mu で置換積分すると,

\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^3 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty y^3 e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} \, dy \end{aligned}


である。 \int_{-\infty}^\infty\bigl| y^3 e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}\bigr| \, dy < \infty に注意して,被積分関数は奇関数であるから,結局,

\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty y^3 e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} \, dy = 0


となり, E[(X-\mu)^3] = 0 なので,歪度 \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = 0 となる。

証明終

特性関数の微分を用いる方法

まずは,正規分布の特性関数について復習しておきましょう。

正規分布の特性関数
\color{red} E[e^{itX}]= \exp \left( i\mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)

これの証明については,以下の記事を参照してください。

特性関数の微分により, X\sim N(\mu, \sigma^2) のときの3次モーメント E[ X^3] を求めて, E[(X-\mu)^3] = E[X^3]+ 3E[\mu X^2]+ \cdots としても,もちろん良いです。
しかし,平行移動して, Y = X-\mu \sim N(0, \sigma^2) として, Y の特性関数を求め, E[Y^3] を考えた方が速いため,今回はそうしましょう。

証明

Y=X-\mu と平行移動すると, Y\sim N(0,\sigma^2) となる。 E[e^{itY}] = \exp\left(\frac{-\sigma^2t^2}{2}\right) の両辺 t で3回微分すると,

E[(iY)^3e^{itY}] =\sigma^4t(\sigma^2t^2-3) \exp\left(\frac{-\sigma^2t^2}{2}\right).


t=0 を代入すると, E[Y^3] = 0. すなわち, E[(X-\mu)^3] = 0 なので,歪度 \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = 0 となる。

証明終

正規分布の尖度の導出

さて,次に正規分布の尖度(せんど) \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} について調べましょう。特性関数の微分を用います。

特性関数の微分を用いる方法

証明

Y=X-\mu と平行移動すると, Y\sim N(0,\sigma^2) となる。 E[e^{itY}] = \exp\left(\frac{-\sigma^2t^2}{2}\right) の両辺 t で4回微分すると,

\begin{aligned} &E[(iY)^4 e^{itY}] \\&=\sigma^4(\sigma^4t^4-6\sigma^2t^2+3) \exp\left(\frac{-\sigma^2t^2}{2}\right). \end{aligned}


t=0 を代入すると, E[Y^4] = 3\sigma^4. すなわち, E[(X-\mu)^4] = 3\sigma^4 なので,尖度 \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3 = 0 となる。

証明終

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