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一様可積分性とヴィタリの収束定理

測度論
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一様可積分性は,とくに有限測度( \mu(X)<\infty)のときに有用です。ここでは,一様可積分性の定義と,一様可積分のときに用いることのできる「ヴィタリの収束定理」について解説していきましょう。

一様可積分性

可測関数 f 可積分 (integrable) であるとは, \int |f|\,d\mu<\infty が成立することでした。

一様可積分性の定義

定義(一様可積分)

可積分関数列 \{f_n\}一様可積分 (uniformly integrable) であるとは,

\color{red}\lim_{\lambda\to\infty} \sup_{n\ge 1} \int_{\{|f_n|\ge \lambda\}} |f_n| \,d\mu=0


が成り立つことを言う。

一様可積分は,特に有限測度( \mu(X)<\infty)のときに大事な概念であり,確率論でもよく使われます。

一様可積分は,任意の \varepsilon>0 に対して,ある \delta>0 が存在して,

\color{red}\begin{equation} \mu(A)<\delta \implies \left|\int_A f_n\,d\mu\right|<\varepsilon\;(n\ge 1) \end{equation}


と定義することもあります。この定義は上の定義より少し緩いです。実際, \mu(X)<\infty のとき,以下の同値が知られています。

一様可積分性の同値な定義

定理1(一様可積分性の同値な定義)

\color{red} \mu(X)<\infty であるとき,可測関数列 \{f_n\} に関して以下は同値。

  1. \{f_n\} は一様可積分
  2. 上式 (1) かつ \begin{equation}\sup_{n\ge 1} \int |f_n|\,d\mu<\infty \end{equation} が成立。

(1) 式だけでは,元の定義と同値になりません。実際, f_n =n1_{\{0\}} で, \mu=\delta_0 (デルタ測度) とすると, (1) 式は満たしますが,元の定義は満たしません。

証明

1. \implies 2.について

\lambda>0 が十分大きいとき,1.より \sup_n\int_{\{|f_n|\ge \lambda\}}|f_n|\,d\mu<\infty である(左辺を M_\lambda とする)。

\begin{aligned}&\sup_n \int |f_n|\,d\mu \\ &\le \sup_n \int_{\{|f_n|<\lambda\}} |f_n|\,d\mu+ \sup_n\int_{\{|f_n|\ge\lambda\}} |f_n|\,d\mu \\ &\le \sup_n \int\lambda\,d\mu + M_\lambda\\ &\le \lambda\mu(X)+M_\lambda<\infty \end{aligned}


より, (2) 式を得る。また, \varepsilon>0 に対して, \sup_n \int_{\{f_n\ge \lambda\}} |f_n|\,d\mu<\varepsilon をみたす \lambda を取ると, \mu(A)<\varepsilon/\lambda に対して,

\begin{aligned}& \sup_n \left|\int_A f_n\,d\mu\right| \\ &\le\sup_n \int_A |f_n|\,d\mu \\ &\le \sup_n \int_{A\cap \{|f_n|\ge \lambda\}}\!\!\!\!\!\! |f_n|\,d\mu + \sup_n \int_{A\cap \{|f_n|<\lambda\}} \!\!\!\!\!\!|f_n|\,d\mu \\ &\le \varepsilon + \lambda \mu(A) \le 2\varepsilon \end{aligned}


より, (1) 式を得る。

2. \implies 1.について

(2) 式より,M=\sup_n\int |f_n|\,d\mu<\infty とする。 \lambda >0 に対し,

\begin{aligned}\lambda\mu(|f_n|\ge \lambda) &=\lambda \int_{\{|f_n|\ge \lambda\}}\,d\mu \\ &\le \int_{\{|f_n|\ge \lambda\}}|f_n|\,d\mu \le M \end{aligned}


より, \mu(|f_n|\ge \lambda) \le M/\lambda である(マルコフの不等式)。 (1) 式より M/\lambda<\delta とすると,特に \mu( \{|f_n|\ge \lambda \} \cap \{f_n\ge 0\})<\delta \mu( \{|f_n|\ge \lambda \} \cap \{f_n< 0\})<\delta であるから,

\begin{aligned} &\sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}} |f_n| \,d\mu\\ &\le \sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n \ge 0\} } \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! |f_n| \,d\mu + \sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \} \cap\{ f_n < 0\} } \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! |f_n| \,d\mu \\ &= \sup_n \left| \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n \ge 0\} } \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\! f_n \,d\mu \right| +\sup_n \left| \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n < 0\} } \!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! f_n \,d\mu \right| \\ &\le \varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon . \end{aligned}


これは, \lim_{\lambda\to\infty} \sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n \ge 0\} } |f_n| \,d\mu =0 を意味する。

証明終

ヴィタリの収束定理

定理2(ヴィタリの収束定理; Vitali convergence theorem)

(X,\mathcal{F},\mu) を測度空間,\color{red} \mu(X)<\infty とする。\{f_n\} は一様可積分で, f_n \xrightarrow {n\to\infty} f であるとき, f は可積分で,

\color{red} \lim_{n\to\infty} \int |f_n-f| \,d\mu = 0


である。特に,

\color{red} \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu


が言える。

f_n \xrightarrow {n\to\infty} f \mu\text{-a.e.} で構いません。

なお, \mu(X)<\infty の下で,ヴィタリの収束定理は,ルベーグの収束定理(DCT)より仮定が弱いです。実際, |f_n|\le F となる可積分関数 F が存在するとすると,

\begin{aligned}\sup_n \int_{|f_n|\ge \lambda} |f_n|\,d\mu &\le \int_{|F|\ge \lambda} |F|\,d\mu \\ &\xrightarrow[\text{DCT}]{\lambda\to\infty} 0\end{aligned}


より, \{f_n\} は自動的に一様可積分になりますね。

証明

Fatouの補題と定理1より, \int |f|\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty} \int |f_n|\,d\mu\le\sup_n \int|f_n|\,d\mu<\infty であるから, f は可積分である。

\{f_n-f\} が一様可積分であることは,定理1を考えればわかる。 \varepsilon>0 とする。 \lambda>0 を十分大きくとることで, \sup_n\int_{\{|f_n-f|\ge \lambda\}}|f_n-f|\,d\mu<\varepsilon とする。すると,

\begin{aligned}&\int |f_n-f|\,d\mu \\ &\le \int_{\{|f_n-f|\ge \lambda\}}\!\!\!\!\!\!|f_n-f|\,d\mu + \int_{\{|f_n-f|<\lambda\}}\!\!\!\!\!\!|f_n-f|\,d\mu \\ &\le \varepsilon + \int_{\{|f_n-f|<\lambda\}}|f_n-f|\,d\mu. \end{aligned}


ここで, |f_n-f|1_{\{|f_n-f|<\lambda\}}\le \lambda であり,右辺は可積分であるから,ルベーグの収束定理(有界収束定理)より, n を十分大きくとると, \int_{\{|f_n-f|<\lambda\}}|f_n-f|\,d\mu<\varepsilon とできる。したがって,十分大きな n に対し,

\int |f_n-f|\,d\mu \le \varepsilon+\varepsilon =2\varepsilon


であり,これより \lim_{n\to\infty}|f_n-f|\,d\mu =0 を得る。後半は明らか(分からなければルベーグの収束定理の証明の最終行の式を見よ)。

証明終

なお,定理2は逆も知られています。具体的には, \{f_n\},f が可積分で, f_n\xrightarrow{n\to\infty}f かつ \lim_{n\to\infty} \int |f_n-f| \,d\mu = 0 ならば, \{f_n\} は一様可積分です。証明は省略します。

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参考

  1. 舟木直久「確率論」(朝倉書店 講座 数学の考え方20, 2004)
  2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1987.