【位相空間】チコノフの板(Tychonoff Plank)

証明

T_0, T_1, T_2, T_3 であること

[0,\omega],[0,\omega_1] は T_0,T_1,T_2,T_3,T_4,T_5 全ての分離公理が成立するが，そのうち T_0,T_1,T_2,T_3 は，元の空間がそうなら直積空間もそうなるため，言える。

T_4 について

チコノフの板 T はコンパクトハウスドルフ空間であり，コンパクトハウスドルフ空間は T_4（正規）であるから， T は T_4 である。

欠けたチコノフの板 T_\infty が T_4 でないことを示そう。

F = \{\omega_1\}\times [0,\omega),\, G = [0,\omega_1)\times \{\omega\} とする。補集合が開集合なので， F, G は閉集合である。これが開集合で分離できないことを示そう。もし分離できるとすると，

となる開集合 U, V\subset T_\infty が取れる。

任意の点 (\omega_1, n)\in F に対し，ある \gamma_n \in [0,\omega_1) で， [\gamma_n, \omega_1]\times \{n\}\subset U となる開近傍 [\gamma_n, \omega_1]\times \{n\} が取れる。各 n ごとにこの \gamma_n を選ぶ。

\overline{\gamma}=\sup_n \gamma_n と定めると， \overline{\gamma}<\omega_1 である(→順序数に関する基本的なこと)。このとき，

である。 このとき， \{\overline{\gamma}+1\}\times [0,\omega)\subset U であるが， (\overline{\gamma}+1, \omega)\in G の近傍はこれと必ず交わるので， U\cap V\ne \emptyset である。

ゆえに， F,G は開集合で分離できず， T_\infty は T_4 空間でない。

T_5 について

T_5 空間であるとは，任意の部分空間が T_4 空間であることと同値である。 T_\infty は T_4 空間でないので， T は T_5 空間でない。

証明終

証明

T について

[0,\omega_1],[0,\omega] はどちらもコンパクトであり，コンパクト空間の直積はコンパクトなので， T はコンパクトである。よって，極限点コンパクト・擬コンパクト・局所コンパクトでもある。

T_\infty について

\{\omega_1\}\times [0,\omega)\subset T_\infty は集積点をもたない無限集合であるから， T_\infty は極限点コンパクトではない。よって，コンパクトではない。

T_\infty が擬コンパクトであることを示そう。 f\colon T_\infty \to \R が連続であるとすると，f を制限した f(\cdot, \omega)\colon [0,\omega_1)\to \R も連続なので eventually constant，すなわちある \alpha_\omega \in [0,\omega_1) と x_\omega \in \R が存在して， f(\alpha, \omega)=x_\omega \; (\forall \alpha>\alpha_\omega) とできる(→順序位相の定義と順序数における順序位相の性質)。

ここで，f(\omega_1, \omega)=x_\omega として f を f\colon T\to \R に拡張すると，これも連続であり，T はコンパクトなので f は有界である。ゆえに，もとの連続関数 f\colon T_\infty\to\R も有界であり， T_\infty は擬コンパクトである。

また， (\alpha, \beta)\in T_\infty に対し， [0,\alpha]\times [0,\beta] はコンパクトな近傍なので， T_\infty は局所コンパクトである。

証明終