Frullani integralとその証明

Frullani 積分 (Frullani integral) について，その主張を紹介し，証明します。

Frullani integralの主張

定理(Frullani’s integral)

$f\colon [0,\infty) \to \mathbb{R}$ を $C^1$ 級関数(すなわち微分可能で導関数が連続)とし，さらに $f(\infty) = \lim_{x\to\infty} f(x)$ が収束するとする。
このとき， $0 < a < b$ に対し，

\color{red}\begin{aligned} & \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &\qquad = (f(\infty) -f(0))\log\frac{b}{a} \end{aligned}

が成立する。

$C^1$ 級関数の意味について，もし分からない場合は，C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つを参照してください。

早速証明しましょう。

証明

$c>0$ とする。

\begin{aligned} \int_0^c \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx &= \int_0^c \int_a^b f^\prime(tx) \, dt dx. \\ \end{aligned}

フビニの定理より，積分の順序を交換して，

\begin{aligned}\int_0^c \int_a^b f^\prime(tx) \, dt dx &= \int_a^b \int_0^c f'(tx)\,dxdt \\ &= \int_a^b \left[ \frac{f(tx)}{t}\right]_{x=0}^c \, dt \\ &= \int_a^b \frac{f(tc)-f(0)}{t} \, dt .\\ \end{aligned}

$f$ は $[0, \infty)$ 上有界であるから， $|f(x)|<M \,\, (0\le x< \infty)$ となる $M>0$ を取る。すると， $|(f(tc)-f(0))/t| \le 2M/t$ であり，右辺は $[a,b]$ 上可積分であるから，ルベーグの収束定理より，

\begin{aligned}& \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &= \lim_{c\to\infty} \int_a^b \frac{f(tc)-f(0)}{t} \, dt \\ &= \int_a^b \frac{f(\infty)-f(0)}{t}\, dt \\ &= (f(\infty)-f(0)) [\log t] _a^b \\ &= (f(\infty)-f(0)) \log\frac{b}{a}. \end{aligned}

よって，

$\begin{aligned} & \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &\qquad = (f(\infty) -f(0))\log\frac{b}{a} \end{aligned}$

である。

証明終

証明できましたね。フビニの定理を使う際に，積分の絶対収束性が要るのですが，そこで $f'$ の連続性を用いて，有界領域内で重積分が絶対収束するようにしています。

一つだけ例を挙げましょう。

例

$0<a<b$ に対し，

\color{red} \int_0^\infty \frac{e^{-bx} - e^{-ax}}{x} \, dx = \log\frac{b}{a}.