集合と位相

位相空間論におけるT1空間，あるいはフレシェ空間であるとは，T1分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。T1空間について，その定義と具体例をT0空間（コルモゴロフ空間）やT2空間（ハウスドルフ空間）を織り交ぜながら，掘り下げましょう。

位相空間論におけるコルモゴロフ空間，あるいはT0空間とは，T0-分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が，位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。コルモゴロフ空間について，その定義と具体例を掘り下げましょう。

同相写像とは，位相的性質を保つ写像のことで，同相写像が存在する2つの位相空間は，位相的性質が全く同じであり，そのような2つの位相空間は，同相(位相同型)であるといいます。これにより，位相空間を分類することが可能です。同相写像と同相(位相同型)の定義・具体例・性質を紹介し，さらに，全単射かつ連続だけだと，同相とは言えないことも解説しましょう。

開写像とは，開集合の像(image)を開集合にうつす写像のことで，閉写像とは，閉集合の像(image)を閉集合にうつす写像のことです。開集合・閉写像の定義と具体例・性質を，連続写像と絡めながら，解説しましょう。

位相空間における連続写像とは，「開集合の逆像が開集合」になるという風に定義されます。まずは，連続写像の定義と，それと同値な性質について，証明付きで紹介し，さらに今までの連続性の定義のベースであった，イプシロンデルタ論法との定義の一貫性を確認します。その後，その他の性質もたくさん述べます。

開基・準開基とは，位相空間における「基底」のような概念で，それをみれば，位相空間全体が分かるようなものです。開基・準開基の厳密な定義と具体例を紹介し，さらに，位相空間全体を生成することを，開基・準開基を絡めて考えてみましょう。

近傍とは，距離のない位相空間に，ある意味「近さ」の概念を入れるものです。距離空間におけるイプシロン近傍から出発して，それを一般化する形で定義します。さらに，基本近傍系はすべての近傍を記述するのに必要十分な部分集合族です。近傍・近傍系と基本近傍系の定義からはじめ，逆に近傍系を用いて位相を定義する話まで解説しましょう。

位相空間の部分集合が，稠密（ちゅうみつ）であるとは，閉包が全体集合に一致することを言い，可分であるとは，高々可算な稠密部分集合を持つ位相空間のことを言います。稠密の定義と可分の定義を，それぞれたくさんの具体例を添えて確認していきましょう。