集合と位相

集合と位相

同値類と商集合をわかりやすく図解~定義と具体例4つ~

集合において,同値関係の元を集めた「同値類 (equivalence class) 」と,それらを集めた集合である「商集合 (quotient set) 」は,専門数学における難しい概念の1つでしょう。これについて,具体例・図を交えて解説します。
集合と位相

同値関係の定義と重要な具体例5つ

同値関係 (equivalence relation) とは,二項関係~のうち,反射律・推移律・対称律をみたすものを言います。これについて,その定義と,重要な具体例5つを紹介しましょう。
集合と位相

半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺

半順序集合・全順序集合といった「順序集合」とは,集合内に順序(いわゆる大小関係)が定まった集合といえます。これらについて,その定義と具体例4つを紹介し,順序を保つ写像など,それに関連した知識も紹介します。
集合と位相

反射律・推移律・対称律・反対称律の定義と具体例7つ

二項関係 (binary relation) の性質である,反射律 (reflexive)・推移律 (transitive)・対称律 (symmetric)・反対称律 (antisymmetric) の定義と具体例7つを紹介します。
集合と位相

二項関係とは

数学における,集合上の2つの元の関係を表す「二項関係 (binary relation) 」について,その定義と具体例を解説します。
集合と位相

集合族と添字集合

集合族 (集合系; family of sets) とは「集合の集まり」という意味です。たくさんの集合は,添え字を用いてA_1, A_2のように区別されます。集合族と添字集合について,その定義と使い方を解説します。
集合と位相

カントールの対角線論法とそれを用いた証明

「カントールの対角線論法 (Cantor's diagonal argument) 」あるいは単に「対角線論法」とは,数学における証明のテクニックの1つです。これについて,その内容を,実際の証明を通して理解していきましょう。
集合と位相

選択公理の内容と具体例を詳しく

選択公理とは,「無限個の各集合から一気に一つずつ元を選択することができる」という公理です。専門数学では,多くの場合仮定されますが,自明でない公理なので,気を付けて使う必要があります。そんな選択公理について,その内容と意味・具体例を詳しく解説...
集合と位相

【直積集合】集合の直積について詳しく~具体例10個~

集合A,Bに対し,その直積 (direct product) A×Bは,a∈A, b∈Bの対(順序対)(a,b)の集合となります。そんな直積について,2個の直積・n個の直積・無限個の直積を,具体例を添えながら,順番に解説していきましょう。
集合と位相

可算集合と非可算集合(可算無限・非可算無限)

専門数学を理解するにあたって重要な概念の一つの「無限の大小」について,すなわち可算集合(countable set, 可算無限)と非可算集合(非可算無限)について,その定義と性質を紹介しましょう。非可算集合については,連続体濃度を扱います。