【位相空間】閉包とは～定義と例と性質～

ユークリッド空間・距離空間・位相空間におけるある集合の「閉包」とは，ある集合を含む最小の閉集合のことです。まずは位相空間における一般的な閉包を定義し，ユークリッド空間・距離空間におけるもっとイメージしやすい定義を述べましょう。

閉包の定義
閉包の具体例
閉包の性質
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閉包の定義

まずは一般の位相空間における閉包を定義し，より具体的なユークリッド空間・距離空間における別の定義を紹介しましょう。

位相空間における閉包の定義

まずは，一般の位相空間における閉包の定義を述べます。

定義1（閉包）

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とし， $A\subset X$ とする。

$A$ を含む最小の閉集合を $A$ の閉包 (closure) といい， $A^a$ や $\color{red}\large \overline{A}$ や $\operatorname{Cl}(A)$ などとあらわす。

定義から明らかに $A\subset \overline{A}$ です。

高校では， $\overline{A}$ は $A$ の補集合を表していたと思いますが，大学では $A^c$ で $A$ の補集合を表し， $\overline{A}$ で $A$ の閉包を表すのが普通です。

$\mathcal{C}_A$ を $A$ を含む閉集合全体としたとき， $\bigcap_{C\in\mathcal{C}_A} C$ も $A$ を含む閉集合ですから，「 $A$ を含む最小の閉集合」を考えることができます。

開集合の補集合が閉集合，閉集合の補集合が開集合ですから， $X\setminus \overline{A}$ は， $X\setminus A$ に含まれる最小の開集合(すなわち集合 $X\setminus \overline{A}$ の内部(開核))です。

ユークリッド空間・距離空間における点列を用いた定義

さて，より具体的なユークリッド空間・距離空間では，閉包は別な定義が可能ですから，それを紹介しましょう。何でもかんでも一般的な定義だけ分かっているだけではダメで，イメージを持ちやすい定義を理解しておくのが大切です。

以下では，距離空間で定義しますが，ユークリッド空間 $\R^n$ としてもよいです。

定義2（点列の収束と閉集合）

$(X, d)$ を距離空間とし， $A\subset X$ とする。

$A$ における収束する数列 $\{a_n\}\subset A$ の収束先となり得る点全体の集合を $A$ の閉包 (closure) といい， $A^a$ や $\color{red}\large \overline{A}$ や $\operatorname{Cl}(A)$ などとあらわす。

たとえば， $a\in A$ に対し， $a,a,a,\ldots$ という定数列は $a$ に収束しますから， $A\subset \overline{A}$ が成り立ちます。

分かりやすい定義だと思います。たとえば，収束する数列 $\{a_n\}\subset (0,1)$ の収束先としてあり得る範囲は $[0,1]$ なので， $\overline{(0,1)}=[0,1]$ です。

【距離空間】内部(開核)・境界の概念を用いた定義～触点全体の集合～

$(X, d)$ を距離空間とします。 $\varepsilon >0$ に対し，点 $x\in X$ における $\varepsilon$ -近傍を

\textcolor{red}{\large B_\varepsilon(a)}=\{ x\in \R^n \mid d(a, x)<\varepsilon\}

とかくことにします。

定義3（触点・閉集合）

$(X, d)$ を距離空間とし， $A\subset X$ とする。

$x\in X$ が，任意の $\varepsilon>0$ に対して，

\Large \color{red} B_\varepsilon (x)\cap A \ne \emptyset

をみたすとき， $x$ は $A$ の触点 (adherent point, point of closure) という。触点全体の集合を $A$ の閉包 (closure) といい， $A^a$ や $\color{red}\large \overline{A}$ や $\operatorname{Cl}(A)$ などとあらわす。

定義より明らかに $A\subset \overline{A}$ です。

触点とは，集合の内点か境界点です(→内部(開核)・外部・境界について詳しく図解～距離空間・位相空間～)。よって，集合の閉包とは，集合の内部と境界の和集合といえます。すなわち，

\large \overline{A} =\operatorname{Int}(A)\cup \partial A

です。詳しくは

も見てください。

閉包の具体例

例1( $\R$ ).

実数 $\R$ の部分集合について，

$\overline{(0,1)}=\overline{[0,1)}=\overline{[0,1]}=[0,1]$
$\overline{\{a\}}=\{a\}$
$\overline{\mathbb{Q}}=\overline{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$

例2( $\R^2$ ).

$\R^2$ の部分集合について

$\begin{aligned} &\overline{\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2<1\}} \\&=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\le 1\}\end{aligned}$
$\begin{aligned} &\overline{\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}} \\&=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}\end{aligned}$

例3(離散距離).

$(X, d)$ を離散距離空間とする。すなわち， $d(x,y)=\begin{cases} 1 & x\ne y, \\ 0& x=y\end{cases}$ とする。このとき，任意の $A\subset X$ に対し， $\overline{A}=A$ である。

どの点同士の距離も $1$ なので， $\{a_n\}\subset A$ が収束するには，最終的に定数列 $a,a,a,a,\ldots$ にならねばなりません。 $a\in A$ ですから， $A$ 内にしか収束できません。

例4(密着位相).

$(X, \mathcal{O})$ を密着位相空間とする。このとき，

\overline{A} = \begin{cases} \emptyset & A=\emptyset, \\ X & A\ne \emptyset\end{cases}

である。

密着位相空間における閉集合は $\emptyset$ と $X$ のみですから，明らかです。

なお，離散位相は例3.と同じです。

閉包の性質

定理（閉包の性質）

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とし， $A,B\subset X$ とする。このとき，

$\overline{\emptyset}=\emptyset, \;\overline{X} = X$
$A\subset \overline{A}$
$\overline{\bigl(\overline{A}\bigr)}=\overline{A}$
$\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}$

なお，一般に $\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$ ですが，等号は成り立ちません。

実際， $A\cap B\subset \overline{A}, \overline{B}$ なので， $A\cap B \subset \overline{A}\cap \overline{B}$ がいえます。右辺は閉集合なので， $\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$ となります。一方で， $\R$ において， $A = [0,1),\; B =(1,2]$ とすると，