辞書式順序とは，順序集合の直積集合に定まる順序の一つで，国語辞書の単語が並ぶ順番と同じようなものです。まず，有限個の直積における辞書式順序の定義・具体例を紹介し，それから，無限個を含む辞書式順序を考えます。最後に，整列集合たちの辞書式順序が整列集合になるか否かを考えましょう。

補コンパクト位相とは，実数全体の集合において，通常の位相で補集合がコンパクトになるような部分集合全体のなす位相で，通常の位相より小さい位相空間になります。補コンパクト位相について，その定義と性質を，通常の位相や補有限位相とも比較しながら述べましょう。

Gδ集合とは，開集合の可算個の共通部分で表せるような集合のことで，Fσ集合は，閉集合の可算和で表せるような集合のことです。Gδ集合・Fσ集合は互いに補集合の関係になっています。Gδ集合・Fσ集合について，その定義と具体例を紹介し，さらに，実数値関数の連続点にまつわる面白い定理を紹介しましょう。

リンデレーフ空間（リンデレフ空間）とは，任意の開被覆が可算部分被覆をもつような位相空間のことです。コンパクトが「任意の開被覆が有限部分被覆をもつ」だったので，「有限」の部分を「可算」に弱めたのがリンデレーフだといえます。リンデレーフ空間と，さらに強い意味の遺伝的リンデレーフ空間について，その定義と性質・具体例を紹介しましょう。

K位相(スミルノフ位相)とは，通常の実数の位相に，とある閉集合を加えた位相空間です。連結だが局所連結でない，メタコンパクトだがパラコンパクトでない等の性質をもちます。K位相(スミルノフ位相)について，その定義と性質をていねいにまとめましょう。

σコンパクト空間 (σ-compact space) とは，コンパクト部分集合の可算和でかけるような位相空間のことを言います。コンパクト性よりは弱いですが，ある程度扱いやすい空間です。σコンパクト空間について，その定義と性質・具体例を詳しく紹介しましょう。

ヒルベルト立方体とは，閉区間の可算個の直積で定義される位相空間で，距離化可能な空間，2乗可積分な数列のなすヒルベルト空間の部分集合です。ヒルベルト立方体について，その定義と位相的性質を解説しましょう。

ゾルゲンフライ平面とは，R^2上に入る，通常の位相より大きい位相で，ゾルゲンフライ直線2つの直積で表される位相空間です。ゾルゲンフライ平面は，T3空間（あるいは正則空間）だがT4空間（あるいは正規空間）でない例として有名です。ゾルゲンフライ平面の定義と性質を解説しましょう。

Rにおける通常の位相は，開区間(a,b)を開基とする位相ですが，ゾルゲンフライ直線Rとは，半開区間[a,b)を開基とする位相であり，この位相を下限位相といいます。ゾルゲンフライ直線は，Rにおける通常の位相より大きく，通常の位相とは異なった面白い性質をもつものです。性質を掘り下げましょう。