数論 ピタゴラス数一覧【10000以下全て1593個】 a^2+b^2=c^2をみたす整数の組(a,b,c)をピタゴラス数 (Pythagorean triple) といい,特にa,b,cの3数の最大公約数が1であるものを 原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) といいます。今回は,以下のルールに従い,ピタゴラス数をひたすら列挙します。 2023.07.18 数論
数論 ピタゴラス数の求め方(解)・性質とその証明 a^2+b^2=c^2をみたすような正の整数(a,b,c)をピタゴラス数といいます。特に,3数の最大公約数が1であるピタゴラス数(a,b,c)を原始ピタゴラス数といいます。原始ピタゴラス数は求め方があります。これについて掘り下げましょう。 2023.07.17 数論
測度論 完備な測度と測度空間の完備化 完備な測度空間とは,零集合の任意の部分集合が可測,従って零集合になる測度空間のことをいいます。任意の測度空間は完備な拡張を持つことが知られています。完備な測度と,任意の測度空間の完備化について紹介しましょう。 2023.05.06 測度論
解析学(大学)その他 リプシッツ連続とは~定義と性質・他の連続性との関係など~ 関数fがリプシッツ連続(Lipschitz continuous)であるとは,|f(x)-f(y)| ≦ K|x-y| が成り立つことを指します。リプシッツ連続について,その定義と例,一様連続など他の連続性との関係,微分と関連する性質について述べましょう。 2023.05.05 解析学(大学)その他
群・環・体 モニック多項式とは~定義・例・性質~ モニック多項式 (monic polynomial) とは,最高次係数が1である一変数多項式のことを言います。モニック多項式について,簡単に定義・例・性質を紹介しましょう。 2023.05.04 群・環・体
解析学(大学)その他 凸関数と凸不等式(イェンセンの不等式)についてかなり詳しく 凸関数 (convex function) は,それ自身が研究対象の一つであり,凸解析 (convex analysis) といわれることがあります。凸関数・凹関数と凸不等式(イェンセンの不等式)について,基本的なことを詳しくまとめましょう。 2023.05.03 解析学(大学)その他
解析学(大学)その他 絶対連続な関数とは~定義と例と性質4つ~ 絶対連続な関数とは,一様連続の定義をさらに厳しくしたような感じで,測度の絶対連続性の概念とも密接に関連しています。絶対連続性について,その定義・例・性質を紹介しましょう。 2023.05.02 解析学(大学)その他
解析学(大学)その他 有界変動関数の定義と例といくつかの大事な性質 有界変動関数とは,「変動」つまり上下にどのくらい動くかが,「有界」すなわちそんなに変動しないということです。有界変動関数は,2つの単調増加関数の差で表すことができることが知られています。有界変動関数について,その定義と,大事な性質を証明付きで紹介していきましょう。 2023.05.01 解析学(大学)その他
測度論 単調関数はほとんどいたるところ微分可能である証明 単調増加または単調減少関数,より一般に有界変動関数は,ほとんどいたるところ微分可能であることが知られています。これについて,ラドンニコディムの定理やルベーグの微分定理を用いた証明を紹介しましょう。 2023.04.16 測度論
測度論 ルベーグの微分定理とその証明~測度の微分を添えて~ ルベーグの微分定理(Lebesgue differentiation theorem)は,リーマン積分のときに成り立っていた「積分して微分すると元に戻る」という性質の,ルベーグ積分版といえます。ルベーグの微分定理とその証明を行い,測度の微分について少し掘り下げましょう。 2023.04.10 測度論