位相空間におけるコンパクト集合とは，任意の開被覆に対し，その有限部分被覆が存在することを言います。コンパクト性はある意味「コンパクト」にまとまった空間で，大雑把には，日常会話で使う「コンパクト」のイメージをそのまま持って構いません。性質が良く，たとえばコンパクト集合上の実連続関数は最大値と最小値をもちます。

「位相空間の間の写像が連続写像になる」という話を転換して，「間の写像が連続になるよう位相空間を定める」という議論を行うのが，誘導位相の考え方です。定義域側に定まる位相を始位相，終域側に定まる位相を終位相といいます。本記事では，始位相・終位相の定義と具体例，普遍性と呼ばれる性質を紹介します。

位相空間論におけるT1空間，あるいはフレシェ空間であるとは，T1分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。T1空間について，その定義と具体例をT0空間（コルモゴロフ空間）やT2空間（ハウスドルフ空間）を織り交ぜながら，掘り下げましょう。

位相空間論におけるコルモゴロフ空間，あるいはT0空間とは，T0-分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が，位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。コルモゴロフ空間について，その定義と具体例を掘り下げましょう。

同相写像とは，位相的性質を保つ写像のことで，同相写像が存在する2つの位相空間は，位相的性質が全く同じであり，そのような2つの位相空間は，同相(位相同型)であるといいます。これにより，位相空間を分類することが可能です。同相写像と同相(位相同型)の定義・具体例・性質を紹介し，さらに，全単射かつ連続だけだと，同相とは言えないことも解説しましょう。

開写像とは，開集合の像(image)を開集合にうつす写像のことで，閉写像とは，閉集合の像(image)を閉集合にうつす写像のことです。開集合・閉写像の定義と具体例・性質を，連続写像と絡めながら，解説しましょう。