大学教養

シェルピンスキー空間とは，2点集合における密着位相でも離散位相でもない位相空間で，非常に基本的な位相空間の一つです。T0空間であるが，T1空間でない例としても登場します。シェルピンスキー空間の定義・性質について紹介しましょう。

補有限位相とは，補集合が有限集合である部分集合全体を開集合系とする位相で，補可算位相は，補集合が高々可算集合である部分集合全体を開集合系とする位相です。特に補有限位相は，位相空間論を学ぶ際によく取り上げられる具体例の一つで， 空間だがハウスドルフ空間でないなど，初学者にとって教育的な意味をもつ例です。補有限位相と補可算位相について，その定義と性質を証明付きでまとめましょう。

商位相空間とは，位相空間の商集合に定まる位相で，自然な射影を連続写像にする最大・最強の位相です。この時の射影を商写像と言います。幾何学を展開するうえで，商位相の考え方は非常に重要です。商位相と商写像について，定義・具体例・代表的な性質を紹介しましょう。

箱型積位相とは，位相空間の族に関して，その各開集合の直積を開基とする，直積集合上に定まる位相のことを言います。通常考える「直積位相」よりも大きい（細かい・強い）位相で，直積位相よりも使用頻度は下がりますが，重要な位相です。箱型積位相について，直積位相とも比較しながら解説しましょう。

直積位相または積位相とは，位相空間の直積集合上に定義される位相のことです。各射影によって誘導される始位相，すなわち各射影が連続となるような最小の位相として定義されます。直積位相について，その定義と具体例・性質を述べましょう。最後には，箱型積位相とよばれる，直積位相よりも大きい（細かい・強い）位相も考えます。

相対コンパクトとは，閉包がコンパクトになるような部分集合のことを言います。相対コンパクトについて，その定義と具体例，さらにはネット(有向点族)・点列との関係性まで紹介しましょう。

位相空間におけるコンパクト集合とは，任意の開被覆に対し，その有限部分被覆が存在することを言います。コンパクト性はある意味「コンパクト」にまとまった空間で，大雑把には，日常会話で使う「コンパクト」のイメージをそのまま持って構いません。性質が良く，たとえばコンパクト集合上の実連続関数は最大値と最小値をもちます。

「位相空間の間の写像が連続写像になる」という話を転換して，「間の写像が連続になるよう位相空間を定める」という議論を行うのが，誘導位相の考え方です。定義域側に定まる位相を始位相，終域側に定まる位相を終位相といいます。本記事では，始位相・終位相の定義と具体例，普遍性と呼ばれる性質を紹介します。

位相空間論におけるT1空間，あるいはフレシェ空間であるとは，T1分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。T1空間について，その定義と具体例をT0空間（コルモゴロフ空間）やT2空間（ハウスドルフ空間）を織り交ぜながら，掘り下げましょう。

位相空間論におけるコルモゴロフ空間，あるいはT0空間とは，T0-分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が，位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。コルモゴロフ空間について，その定義と具体例を掘り下げましょう。