大学教養

σコンパクト空間 (σ-compact space) とは，コンパクト部分集合の可算和でかけるような位相空間のことを言います。コンパクト性よりは弱いですが，ある程度扱いやすい空間です。σコンパクト空間について，その定義と性質・具体例を詳しく紹介しましょう。

ヒルベルト立方体とは，閉区間の可算個の直積で定義される位相空間で，距離化可能な空間，2乗可積分な数列のなすヒルベルト空間の部分集合です。ヒルベルト立方体について，その定義と位相的性質を解説しましょう。

ゾルゲンフライ平面とは，R^2上に入る，通常の位相より大きい位相で，ゾルゲンフライ直線2つの直積で表される位相空間です。ゾルゲンフライ平面は，T3空間（あるいは正則空間）だがT4空間（あるいは正規空間）でない例として有名です。ゾルゲンフライ平面の定義と性質を解説しましょう。

Rにおける通常の位相は，開区間(a,b)を開基とする位相ですが，ゾルゲンフライ直線Rとは，半開区間[a,b)を開基とする位相であり，この位相を下限位相といいます。ゾルゲンフライ直線は，Rにおける通常の位相より大きく，通常の位相とは異なった面白い性質をもつものです。性質を掘り下げましょう。

除外点位相とは，ある特定の点pを含まない部分集合全体を開集合系にするような位相空間で，T0, T4, T5分離公理をみたすが，T1, T2, T3をみたさない特殊な空間です。除外点位相の定義と性質を掘り下げましょう。

特定点位相とは，ある特定の点を含む部分集合全体を開集合系にするような位相空間で，連結性はもちますが，コンパクトとは言えない空間です。また，可分ですが部分空間が可分でない例や，コンパクトですが相対コンパクトでないような例を作るのにも用いられます。特定点位相の定義と性質を掘り下げましょう。

シェルピンスキー空間とは，2点集合における密着位相でも離散位相でもない位相空間で，非常に基本的な位相空間の一つです。T0空間であるが，T1空間でない例としても登場します。シェルピンスキー空間の定義・性質について紹介しましょう。

補有限位相とは，補集合が有限集合である部分集合全体を開集合系とする位相で，補可算位相は，補集合が高々可算集合である部分集合全体を開集合系とする位相です。特に補有限位相は，位相空間論を学ぶ際によく取り上げられる具体例の一つで， 空間だがハウスドルフ空間でないなど，初学者にとって教育的な意味をもつ例です。補有限位相と補可算位相について，その定義と性質を証明付きでまとめましょう。

商位相空間とは，位相空間の商集合に定まる位相で，自然な射影を連続写像にする最大・最強の位相です。この時の射影を商写像と言います。幾何学を展開するうえで，商位相の考え方は非常に重要です。商位相と商写像について，定義・具体例・代表的な性質を紹介しましょう。

箱型積位相とは，位相空間の族に関して，その各開集合の直積を開基とする，直積集合上に定まる位相のことを言います。通常考える「直積位相」よりも大きい（細かい・強い）位相で，直積位相よりも使用頻度は下がりますが，重要な位相です。箱型積位相について，直積位相とも比較しながら解説しましょう。