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反射律・推移律・対称律・反対称律の定義と具体例7つ

集合と位相
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二項関係の性質である,反射律・推移律・対称律・反対称律の定義と具体例7つを紹介します。

反射律・推移律・対称律・反対称律の定義

反射律・推移律・対称律・反対称律とは,集合上の二項関係 xRy に成り立つ性質を指します。定義を見ていきましょう。

定義(反射律・推移律・対称律・反対称律)

空でない集合 X 上の二項関係 R について,

  1. 任意の x\in X に対して, xRx が成り立つとき, R反射律 (reflexive relation) をみたすという。
  2. x,y,z\in X xRy,\; yRz を共にみたすとき,常に xRz もみたすなら, R推移律 (transitive relation) をみたすという。
  3. x,y\in X xRy をみたすとき,常に yRx もみたすなら, R対称律 (symmetric relation) をみたすという。
  4. x,y\in X xRy,\; yRx を共にみたすとき, x=y となるなら, R反対称律 (antisymmetric relation) をみたすという。
反射律・推移律・対称律・反対称律の定義をまとめた図

二項関係は R という記号を用いて,xRy とかきましたが,たとえば,順序関係(大小関係)には x\le y のように,\le を用いますし,他の記号を用いることもあります。

反射律・推移律・対称律・反対称律の具体例7つ

各二項関係について,それぞれ反射律・推移律・対称律・反対称律をみたすかを表にしました。

二項関係反射律推移律対称律反対称律
=
\le on \mathbb{R}×
< on \mathbb{R}××
\equiv \pmod p on \mathbb{Z}×
x R y \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} |x-y|<1 on \mathbb{R}××
xR y \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} y=2x on \mathbb{R}×××
1R1,\, 2R2,\, 1R2, \,2R1 であるが,
これ以外に二項関係がない on \mathbb{R}
××

たとえば, \le 1\le 2 ですが, 2\le 1 は不成立のため,対称律をみたしません。一方で, x\le y,\, y\le x\implies x=y なので,反対称律は成立します。

< については, x<x が成立しないため,反射律は成り立ちません。反対称律については,そもそも x<y,\, y<x を同時に満たす x,y が存在しないため, x<y,\, y<x \implies x=y は真になります。
これは, P\implies Q は,P が偽なら,真となるからです。

残りのチェックは,演習問題としましょう。

同値関係と順序関係

二項関係のうち,反射律・推移律・対称律をみたすものを同値関係 (equivalence relation),反射律・推移律・反対称律をみたすものを(半)順序関係 (partially ordered relation) といいます。これらは,数学においてよく考えられる二項関係です。

二項関係の名前反射律推移律対称律反対称律
同値関係 \sim (例: \equiv \pmod p on \mathbb{Z} )
(半)順序関係 \le (例: \le )

これらについては,以下で詳しく解説することにしましょう。

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