位相空間論における T_1 空間，あるいはフレシェ空間であるとは， T_1-分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理 (separation axioms) とは，各点が位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。
T_1 空間について，その定義と具体例を T_0 空間（コルモゴロフ空間）や T_2 空間（ハウスドルフ空間）を織り交ぜながら，掘り下げましょう。
T1空間の定義と同値な性質
まず T_1 空間の定義を述べ，それから同値な性質を紹介しましょう。
T1空間の定義
定義（ T_1 空間(フレシェ空間)）
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。任意の異なる点 x, y\in X に対し，
x\in O_x かつ y \notin O_x となる O_x\in\mathcal{O}
x\notin O_y かつ y \in O_y となる O_y\in\mathcal{O}
の両方が存在するとき， (X,\mathcal{O}) は T_1 空間 ( T_1 space) またはフレシェ空間 (Fréchet space) であるという。
フレシェ空間という言い方は，関数解析学で別の意味で使うことがあるので， T_1 空間と言った方が勘違いがありません。
定義において，
x\in O_x かつ y \notin O_x となる O_x\in\mathcal{O}
x\notin O_y かつ y \in O_y となる O_y\in\mathcal{O}
のうち，少なくとも一方が成立するような空間を T_0 空間 ( T_0 space) またはコルモゴロフ空間 (Kolmogorov space) といいます(→【位相空間】コルモゴロフ空間(T0空間)の定義と具体例)。
また， T_1 空間であって，かつ O_x\cap O_y=\emptyset とできるとき， T_2 空間 ( T_2 space) またはハウスドルフ空間 (Hausdorff space) といいます。
定義より明らかに T_2\implies T_1\implies T_0 です。
T1空間と同値な性質
T_1 空間であることと同値な性質を紹介しましょう。
定理1（ T_1 空間と同値な性質）
(X,\mathcal{O}) を2点以上の点を持つ位相空間とするとき，以下は同値である。
これにより，たとえば2.を T_1 空間の定義にすることもあります。
1.\implies 2.\implies 3. \implies 4. \implies 1.の順に示します。
証明
1. \implies2.について
T_1 であることから， x\ne a に対し， x\notin O_a,\, a\in O_a となる開集合 O_a\in\mathcal{O} が存在する。
X\setminus \{x\}=\bigcup_{a\in X\setminus \{x\} }O_a
とかけるから， X\setminus \{x\} は開集合すなわち \{x\} は閉集合である。
2. \implies3.について
A\subset X に対し，
\bigcap_{b\in X\setminus A} (X\setminus \{b\}) =A
であり，2.より X\setminus \{b\} は A を含む開集合であるから，上式は A を含む開集合全体の共通部分集合を含む。すなわち
となるから，3.が示された。
3. \implies4.について
x\in X とする。3.で A=\{x\} とすると，
\bigcap_{x\in O\in\mathcal{O}} O=\{x\}
であり， x\in O\in\mathcal{O} をみたす O は O\in\mathcal{N}(x) となるので，
となるため，4.が示された。
4. \implies1.について
x,y\in X を異なる2点とする。3.より，ある N\in\mathcal{N}(x) が存在して， x\in N, \, y\notin N とできる。 N は x の近傍なので， x\in O\subset N となる開集合 O\in\mathcal{O} が取れて，この O は x\in O,\, y\notin O をみたす。
x と y の役割を入れ替えて同じ議論をすると， y\in O, \, x\notin O となる開集合 O\in\mathcal{O} の存在も言えるので， T_1 である。
証明終
T1空間の具体例とそうでない例
具体例を見ていきましょう。 T_0 空間（コルモゴロフ空間）や T_2 空間（ハウスドルフ空間）も絡めて見ていきます。
例1(密着空間・離散空間).
X を2元以上の集合とする。
(X, \{\emptyset, X\}) を密着空間とするとき，これは T_0 でも T_1 でも T_2 でもない。
(X, 2^X) を離散空間とするとき，これは T_0, T_1, T_2 である。
密着空間は開集合によって点が分離できず，離散空間は1点集合自身が開集合であるため，全ての点が開集合によって分離できます。
例2( \R).
実数の集合 \R に通常の位相を入れた空間はハウスドルフ空間（ T_2 空間）であるため， T_1, T_0 でもある。
T_2\implies T_1\implies T_0 なので言えますね。
例3(距離空間).
距離空間はハウスドルフ空間（ T_2 空間）であるため， T_1, T_0 でもある。
もっといろいろな例を挙げましょう。
例4.
X=\{a,b,c\},\,\mathcal{O}=\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\} ,X \} とすると，(X,\mathcal{O}) は位相空間である。
この空間は， T_0 であるが T_1 ではない。
a と b は， a\in\{a\},\, b\notin \{a\} とできる， a と c は， a\in\{a\},\, c\notin \{a\} とできる， b と c は， b\in\{a,b\},\,c\notin \{a,b\} とできるので， T_0 です。
一方で， a\notin O,\, b\in O となる O\in \mathcal{O} はないので， T_1 ではありません。
例5(特定点位相).
X を2元以上の集合とし， x\in X とする。
\mathcal{O}=\{ O\subset X\mid x\in O\}\cup\{\emptyset\}
とすると， (X,\mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_0 であるが， T_1 ではない。
x を元に持つ集合全体（と \emptyset ）を開集合族とする位相空間です。たとえば， x\ne a とすると， x\in \{x\},\,a\notin \{x\} だし， a\ne b をともに x と異なるとすると， a\in \{x,a\},\, b\notin \{x,a\} とできるので， T_0 です。
一方で， x\ne a に対し， x\notin O,\, a\in O となる O\in\mathcal{O} は存在しないので， T_1 ではありません。
例6(除外点位相).
X を2元以上の集合とし， x\in X とする。
\mathcal{O}=\{ O\subset X\mid x\notin O\}\cup\{X\}
とすると， (X,\mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_0 であるが， T_1 ではない。
さっきと逆で， x を元に持たない集合全体（と X）を開集合族とする位相空間です。 T_0 であることは確認してみてください。 x\ne a に対し， x\in O,\, a\notin O となる O\in\mathcal{O} は存在しないので， T_1 ではありません。
例7.
\mathcal{O}=\{ (0, x)\mid 0<x\le 1\}\cup\{\emptyset\}
とすると， ((0,1), \mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_0 であるが， T_1 ではない。
0<x<y\le 1 に対し， x\in O,\, y\notin O となる O\in\mathcal{O} は存在しますが，逆に x\notin O,\, y\in O となる O\in\mathcal{O} は存在しませんね。
例8(補有限位相).
X を無限集合とし，
\mathcal{O}=\{ O\subset X\mid X\setminus O \text{ is finite}\}\cup\{\emptyset\}
を，補集合が有限集合である部分集合全体とすると， (X,\mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_1 であるが， T_2 ではない。
x,y\in X を，異なる2点とします。 X\setminus \{x\}, X\setminus \{y\} はどちらも開集合で，それぞれ x,y の一方を含み，もう一方を含まないので， T_1 の定義を満たしています。
一方で， T_2 と仮定すると，開集合 O_x, O_y\in\mathcal{O} を， x\in O_x,\, y\in \mathcal{O}_y,\, O_x\cap O_y=\emptyset となるように取れます。ここで， (X\setminus O_x)\cup(X\setminus O_y) = X ですから， X\setminus O_x,X\setminus O_y の少なくとも一方は無限集合になります。これは，補集合が有限集合であることに矛盾していますね。
例9.
通常の位相が入った \R と，離散空間 \{ 0,1\} の積空間である，2つの数直線 \widehat{X}=\R\times \{0,1\} に対し，同値関係
(t, 0)\sim (t,1) \quad t<0
による商空間 X=\widehat{X}/\sim を考えると，この空間は T_1 であるが， T_2 ではない。
(0,0)\in X を含む開集合と (0,1)\in X を含む開集合は必ず共通部分を持ってしまうので， T_2 ではありません。
T1空間の性質
ある位相空間が T_0, T_1, T_2 なら，その部分空間も T_0, T_1, T_2 だし，直積空間もそうです。
定理2（分離公理と部分空間・直積）
